Jacobin polynomi

Matematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

$P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} \,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,$

missä $(\alpha+1)_n$ on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke

$P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,$

missä

$P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n} .$

Tässä kokonaisluvulle $n\,$ on voimassa

${z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},$

ja $\Gamma(z)\,$ on Gamma-funktio, jolle $1/\Gamma(n+1) = 0\,$ kaikilla $n=-1,-2,\dots\,$. Siten

${z\choose n} = 0 \quad\hbox{for}\quad n < 0.$

Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon

$\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm},$

kun $\alpha>-1$ ja $\beta>-1$.

Polynomeilla on symmetrisyysehto

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z),$ ja siten

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .$

Reaaliluvuilla $x$ Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= \sum_s {n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s},$

missä $s \ge 0 \,$ ja $n-s \ge 0 \,$. Jos neljä suuretta $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$, and $n+\alpha +\beta$ ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa

$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)! \sum_s \left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.$

Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.

Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla $d^j_{m' m}(\phi)\;$ ($0\le \phi\le 4\pi$) viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

$d^j_{m'm}(\phi) =\left[ \frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2} \left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'} \left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'} P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).$

Derivaatat

Jacobin polynomien k:nnes derivaatta johtaa esitykseen

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .$

Differentiaaliyhtälö

Jacobi polynomiat $P_n^{(\alpha,\beta)}$ ovat ratkaisuna yhtälölle

$(1-x^2)y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.\,$