Jäykkä kappale

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Jäykällä kappaleella tarkoitetaan fysiikassa kappaletta, jonka eri osien väliset etäisyydet eivät muutu siihen kohdistuvien voimien vaikutuksesta, toisin sanoen se säilyttää muotonsa.[1]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suhteellisuusteoria ja sen mukainen Lorentz-kontraktio osoittavat, että tarkkaan ottaen mikään kappale ei voi olla täysin jäykkä, sillä kaikki kappaleet lyhenevät liikkeen suunnassa. Monia kappaleita voidaan kuitenkin käytännössä pitää jäykkinä, jos niiden nopeus on paljon valon­nopeutta pienempi.

Jäykkänä kappaleena voidaan käytännössä pitää monia tarpeeksi kovista aineista koostuvia kappaleita, esimerkiksi heitettyä kiveä tai kiekkoa. Taivaan­mekaniikassa voidaan jäykkänä kappaleena pitää varsinkin pieniä taivaankappaleita kuten asteroideja ja kuita, monessa yhteydessä myös Maata, joskin jos otetaan huomioon Maan sulan sisus ja toisaalta sen pinnalla olevat vedet, tarkkaan ottaen Maa ei ole jäykkä kappale.[1]

Myös teknisissa sovelluksissa monien koneen osien kuten pyörien, rattaiden ja akselien on oltava mahdollisimman jäykkiä.[1] Sen sijaan esimerkiksi metallinen kierrejousi ei ole jäykkä kappale, sillä siihen vaikuttavien voimien vaikutuksesta se venyy tai puristuu kokoon.[2]

Kappaleen jäykkyys ei toisaalta välttämättä edellytä, että sen on oltava kiinteää ainetta. Sakeasta nesteestäkin koostunut kappale, esimerkiksi tervamöhkäle, voi tietyissä olosuhteissa käyttäytyä lähes jäykän kappaleen tavoin.[2]

Jäykän kappaleen liike[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos jäykästä kappaleesta valitaan kaksi pistettä, C ja D, näiden välisen suhteellisen liikkeen on noudatettava tiettyjä ehtoja, jotka seuraavat siitä, että niiden välinen etäisyys |\bar r_{D/C}| pysyy vakiona. Jos |\bar r_{D/C}| käsitetään pisteen D paikkavektoriksi pisteen C ollessa origona ja sen aikaderivaatta \dot \bar r_{D/C} kuvaa sen sijainnin muutoksia, saadaan seuraavat rajoittavat ehdot:

  1. \bar r_{D/C} \perp \dot \bar r_{D/C}
  2. \dot \bar r_{D/C} = \bar \omega \times \bar r_{D/C}

missä \bar \omega on kappaleen mahdollisen pyörimisliikkeen kulmanopeusvektori. Näistä ehdoista ensimmäinen seuraa siitä, että piste D voi kyllä kiertää pisteen C ympäri, jos kappale on pyörimisliikeessä, mutta se ei voi lähestyä pistettä C eikä etääntyä siitä.

Nopeus ja kiihtyvyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jäykän kappaleen pisteiden C ja D nopeuden ja kiihtyvyyden välille saadaan yhteys:

  • \bar v_D = \bar v_C + \bar \omega \times \bar r_{D/C}
  • \bar a_D = \bar a_C + \bar \alpha \times \bar r_{D/C} + \bar \omega \times (\bar \omega \times \bar r_{D/C})

missä \bar \alpha = \dot \bar \omega on kappaleen kulmakiihtyvyys.

Jäykän kappaleen dynamiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jäykän kappaleen etenemis- ja pyörimisliikkeen tutkimus muodostaa klassisen mekaniikan tärkeän erikois­alan. Asiaa tutki yksityis­kohtaisesti muun muassa Leonhard Euler 1700-luvulla.

Vapaa kappale[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vapaa kappale on kappale, johon ei vaikuta ulkoisia voimia. Se voi olla etenemis- tai pyörimisliikkeessä tai samanaikaisesti molemmissa. Jäykän kappaleen liike on puhtaasti etenevää, jos kappaleen jokainen piste siirtyy samassa ajassa yhtä pitkän matkan samaan suuntaan. Puhtaasti pyörivää liike on, jos kappaleen jokainen piste liikkuu pitkin ympyrä­rataa ja näiden ympyröiden keski­pisteet ovat samalla suoralla, joka on kohti­suorassa ympyrä­ratoja vastaan.

Vapaan kappaleen etenemisliike on suora­viivaista ja tasaista, toisin sanoen sen nopeus pysyy vakiona, sillä liikemäärä säilyy. Myös pyörimismäärä (impulssimomentti) säilyy, minkä vuoksi vapaan kappaleen kulmanopeus pysyy myös vakiona.

Ulkoiset voimat ja momentit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Dynamiikan perus­lain mukaan kappaleeseen vaikuttava voima antaa sille kiihtyvyyden, joka on suuruudeltaan voima jaettuna kappaleen massalla.

Jos voima kuitenkin vaikuttaa kappaleessa vain tiettyyn kohtaan, se antaa kappaleelle kulma­kiihtyvyyden. Kulmakiihtyvyyden suuruus riippuu siitä, kuinka suuri on voiman momentti tietyn kiinteän akselin taikka kappaleen massakeskipisteen suhteen.

Yleisessä tapauksessa jäykkään kappaleeseen vaikuttavaa momenttia koskevat Eulerin yhtälöt ovat vaikeasti ratkaistavissa. Ne kuitenkin yksinkertaistuvat, jos systeemillä on sylinterisymmetriaa.

Kun jäykkä kappale pyörii tietyn kiinteän akselin suhteen, pyörimisliikettä koskevat suureet ja yhtälöt muistuttavat huomattavasti etenemisliikkeen vastaavia suureita ja yhtälöitä seuraavan analogian mukaisesti:

Eteneminen Pyöriminen
Nopeus, kulmanopeus v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{v}{2\pi r}
Liike-energia E_\mathrm{kin} =\tfrac{1}{2}mv^2 E_\mathrm{kin} =\tfrac{1}{2} I \omega^2
Liikemäärä, pyörimismäärä p=mv \, L = I \omega \,
Voima, momentti F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=m a \tau = \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}= I \alpha \,

Tasapainoehdot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jäykkään kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat tasapainossa, jos niiden summa on nolla ja lisäksi myös niiden momenttien summa on nolla. Tällöin ne eivät aiheuta kappaleelle kiihtyvyyttä eivätkä kulmakiihtyvyyttä.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: Vuorovaikuttavat kappaleet, mekaniikan perusteet, s. 285-286. Limes ry, 1995. ISBN 951-745-167-9.
  2. a b K. V. Laurikainen, Uuno Nurmi, Rolf Qvickström, Erkki Rosenberg, Matti Tiilikainen: Lukion fysiikka 2, s. 84. WSOY, 1973. ISBN 951-0-05657-X.