Inversio ympyrän suhteen

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Inversio ympyrän suhteen on geometriassa kuvaus, jossa tason pisteet kuvautuvat ympyrään nähden erityisen säännön mukaisesti. Inversioon osallistuvaa ympyrää kutsutaan inversioympyräksi, keskipistettä O inversiokeskukseksi ja sen sädettä inversiosäteeksi. Inversioympyrän sisäpuoliset pisteet kuvautuvat ympyrän ulkopuolelle ja päinvastoin. Merkitään jatkossa kuvattavaa pistettä P ja inversiopistettä P'. Molemmat pisteet sijaitsevat aina samalla inversioympyrän keskipisteestä O lähtevällä säteellä siten, että

OP \cdot OP' = r^2,

missä r on inversioympyrän säde. Lukua r2 kutsutaan myös pisteen potenssiksi. [1][2][3]

Tila-avaruudessa inversiokuvaus suoritetaan pallopinnan suhteen vastaavalla tavalla niin, että pallon keskipisteestä lähtevällä ja pisteen P kautta kulkevalla säteellä suoritetaan kertolasku samalla tavalla.[2]

Inversion geometrinen määritys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen P inversio geometrisesti: Keskipisteen M ja pisteen P kautta piirretään säde, jonka normaali pisteeseen P leikkaa ympyrää kahdessa kohtaa. Näissä kohdissa olevat tangentit leikkaavat sädettä inversiopisteessä P'.

Piste sijaitsee ympyrän sisäpuolella[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos piste P sijaitsee ympyrän sisällä, piirretään puolisuoralle MP normaali pisteeseen P. Normaali leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä Q ja Q'. Koska Q on kehäpiste, voidaan siihen piirtää ympyrän säteet MQ ja MQ'. Säteen normaali on ympyrän kehällä sen tangentti. Tangentit leikkaavat toisensa janan MP jatkella, missä sijaitsee inversiopiste P'. Se, että kyseessä on juuri inversiopiste, nähdään yhdenmuotoisista kolmioista [1][4]

\Delta O P Q \sim \Delta O Q P'

seuraa

\frac{O P}{O Q} = \frac{O Q}{O P'} \Leftrightarrow OP \cdot OP' = OQ^2 \Leftrightarrow OP \cdot OP' = r^2.

Piste sijaitsee ympyrän ulkopuolella[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Inversiopisteen P' määrittäminen geometrisesti, kun piste P on inversioympyrän (punainen) ulkopuolella.

Jos piste sijaitsee inversioympyrän ulkopuolella, suoritetaan kuvion piirtäminen käänteisessä järjestyksessä. Aloitetaan etsimällä tangenttipiste ympyrältä. Sitä varten piirretään apuympyrä, jonka halkaisija on inversioympyrän keskipiste ja piste P. Thaleen lauseen nojalla apuympyrän kehällä olevan pisteen halkaisijaa vastaan oleva kehäkulma on suora. Halkaisijan toinen pää alkoi inversioympyrän keskipisteestä, josta piirretty jana on sen säde kun se päättyy inversioympyrän kehälle. Näin tapahtuukin ympyröiden leikkauspisteessä N. Siinä pisteessä kehäkulman toinen kylki on säde ja toinen jana, joka päättyy pisteeseen P. Thaleen lauseen mukaan säteen ja janan välinen kulma on suora ja jana on siten inversioympyrän tangentti. Samalla tavalla voidaan muodostaa inversioympyrän toiselle puolelle toinen tangentti pisteeseen N'. Piirretään pisteiden N ja N' välille suora. Se leikkaa pisteen P ja keskipisteen O yhdistävällä suoralla olevassa pisteessä P'.[1][4]

Inversio kuvauksena[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Inversio I on kuvaus tason pisteistä X (usein X \ne O) tasolle (tila-avaruudessa avaruuden pisteistä avaruuteen)

I: \, X \rightarrow X,

jolloin merkintä I(P) = P'. Voidaan osoittaa, että jokainen piste P kuvautuu toiseksi pisteeksi I(P) ja että se on myös yksikäsitteinen. Kuvaus I on siten hyvin määritelty. Myös I(I(P)) = P, joten I on itsensä käänteiskuvaus I = I-1.[4]

Kuvaus on bijektio, jos

I: \, X \ne O \rightarrow X \ne O. [1]

Merkitsemällä inversiokeskusta O(x_0,y_0), invertoitavaa pistettä P(x,y) ja invertoitua pistettä P'(x',y'), saadaan

x' = x_0 + \frac{r^2 (x-x_0)}{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}

ja

y' = y_0 + \frac{r^2 (y-y_0)}{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}. [2]

Esimerkkejä inversion kuvauksista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteet ja kulmat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kukin piste P kuvautuu inversioympyrän toiselle puolelle pisteeksi P' linjaan inversiopisteen O ka pisteen P kautta kulkevalle puolisuoralle. Pisteen P' etäisyys inversiopisteestä on säteen neliön ja OP:n osamäärä

OP' = \tfrac{r^2}{OP}.

Jos piste P osuu inversioympyrän kehälle, kuvautuu se itseensä.[5][6]

Piirretään kolme pistettä A, B ja C. Nämä kuvautuvat pisteiksi A', B' ja C'. Kulmat ovat \measuredangleABC = \measuredangleA'B'C' yhtäsuuret kaikissa tapauksissa, jossa mikään piste ei sijaitse inversiopisteessä O. Voidaan sanoa, että inversiokuvaus säilyttää kuvion kulman suuruuden. Inversion peilaavasta luonteesta seuraa kuitenkin känteisyys. Jos kulma aukesi inversioympyrää kohti, tekee kulman kuva samaoin, ja jos se aukeaa poispäin inversioympyrästä, tekee kuva samoin.[5][6]

Suora inversiokeskuksen O kautta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteen P inversio kuvautuu pisteeksi P', joka sijaitsee janan OP jatkeella.

Piirretään suora, joka kulkee inversiokeskuksen O kautta. Määritelmän johdosta kaikki pisteet P kuvautuvat O:n ja P:n kautta kulkevalle puolisuoralle. Silloin O:n kautta piirretyn suoran kuvapisteet kuvautuvat kukin takaisin omalle suoralle samalle puolelle pistettä O, missä itse P on.[7][8]

Suora inversiokeskuksen ohi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Inversion illustration2.png

Piirretään suora kulkemaan inversioympyrän ohi ja suoritetaan sen pisteille inversiokuvaus. Kuvauksen kuvapisteet asettuvat ympyrälle, joka kulkee inversiokeskuksen O kautta. Suoran kulkiessa koko ajan inversioympyrän ulkopuolella, sijaitsee kuvaympyrä inversioympyrän sisällä. Jos suora leikkaa inversioympyrää, sijaitsee kuvaympyrä osittain inversioympyrän ulkopuolella. Sekä suora että kuvaympyrä leikkaavat toisesna inversioympyrän kanssa kahdessa yhteisessä pisteessä. Inversiokuvaus on täysin käänteinen. Ympyrä, joka kulkee inversiopisteen kautta, kuvautuu kuvasuoraksi edellä piirretyllä tavalla.[7][9]

Ympyrä inversiokeskuksen ohi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Inversion illustration3.png

Piirretään ympyrä, jonka kehä ei kulje inversiokeskuksen kautta (edellinen tapaus). Kuvauksen pisteet asettuvat kuvaympyrälle, joka on eri ympyrä kuin piirretty ympyrä. Jos ympyrä piirretään inversioympyrän ulkopuolelle, kuvautuu kuvaympyrä inversioympyrän sisäpuolelle. Kun ympyrä piirretään inversioympyrän sisäpuolelle, piirtyy kuvaympyrä inversioympyrän ulkopuolelle. Jos ympyrä piirretään leikkaamaan inversioympyää, kulkee myös kuvaympyrä piirretyn ympyrän ja inversioympyän leikkauspisteiden kautta. Inversiokuvaus on tässäkin täysin käänteinen. Kuvaympyrä kuvautuu takaisin piirretyksi ympyräksi.[10][11]

Ortogonaalinen ympyrä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ortogonaalisten ympyröiden kehät leikkaavat toisensa kohtisuorasti, mikä nähdään ympyröiden säteistä, jotka ovat leikkauspisteissä kohtisuorassa toisiinsa nähden. Kun piirretään ympyrä, joka on ortogonaalinen inversioympyrän kanssa, kuvautuu se kuvaympyräksi. Kuvaympyrä in identtinen piirretyn ympyrän kanssa. Sanotaan, että piirretty ympyrä kuvautuu itseensä.[5][12]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Gilbert, John E.: Chapter 5. Inversion (PDF) (Kurssi M333L - Modern Geometry: a Dynamic Approach) kurssisivusto. 2013. The University of Texas. Viitattu 5.11.2013. (englanniksi)

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste, s.51-54) 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.12.2012.
  2. a b c Weisstein, Eric W.: Inversion (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Väisälä, KalleGeometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  4. a b c Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste, s.125-132) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto.
  5. a b c Gilbert, John E., s.9
  6. a b Kozai & Libeskind, s.13
  7. a b Gilbert, John E., s.7
  8. Kozai & Libeskind, s.8
  9. Kozai & Libeskind, s.9
  10. Gilbert, John E., s.8
  11. Kozai & Libeskind, s.10
  12. Kozai & Libeskind, s.14-15

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]