Ideaali (rengasteoria)

Renkaan ideaali on tietyntyyppinen renkaan osajoukko.

Määritelmä

Olkoon (R,+, $\cdot$ ) rengas. Tällöin R:n osajoukko I on R:n oikeanpuolinen ideaali, jos

• (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja
• xr kuuluu joukkoon I kaikilla I:n alkioilla x ja kaikilla R:n alkioilla r.

Yhtäpitävästi R:n oikeanpuolinen ideaali on R:n oikeanpuolinen R-alimoduli.

Vastaavalla tavalla voidaan määritellä vasemmanpuolinen ideaali. Nyt R:n osajoukko I on R:n ideaali, jos I on sekä R:n oikean- että vasemmanpuolinen ideaali, eli kaksipuolinen ideaali.

Eri ideaaleja

Olkoon (R,+, $\cdot$ ) rengas ja I R:n ideaali.

• Aito ideaali: Sanotaan, että I on R:n aito ideaali, jos I $\neq$ R.
• Maksimaalinen ideaali: Aitoa R:n ideaalia I sanotaan maksimaaliseksi ideaaliksi, jos ei ole olemassa R:n aitoa ideaalia J, jolle I on J:n aito osajoukko. Maksimaalisen ideaalin tekijärengas on kunta.
• Alkuideaali: Aitoa R:n ideaalia I sanotaan alkuideaaliksi, jos kaikilla R:n alkioilla a ja b ehdosta ab kuuluu I:hin seuraa, että ainakin toinen alkioista a ja b kuuluu I:hin. Alkuideaalin suhteen muodostettu tekijärengas on kokonaisalue.
• Pääideaali: Renkaan R ideaali I on pääideaali, jos I on yhden alkion virittämä.