Hyposykloidi

Hyposykloidi on käyrä, jonka pienempi ympyrä piirtää vieriessään isomman ympyrän sisällä.

Punainen käyrä on hyposykloidi. Pienempi musta ympyrä vierii isomman sinisen ympyrän sisällä (Kuvassa mitat ovat R=3.0, r=1.0, ja k=3).

Jos pienempi ympyrä säteeltään r ja isompi ympyrä säteeltään R =kr, niin Hyposykloidin Parametriesitys on:

$x (\theta) = (R - r) \cos \theta + r \cos \left( \frac{R - r}{r} \theta \right)$

$y (\theta) = (R - r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R - r}{r} \theta \right),$

tai:

$x (\theta) = r (k - 1) \cos \theta + r \cos \left( (k - 1) \theta \right) \,$

$y (\theta) = r (k - 1) \sin \theta - r \sin \left( (k - 1) \theta \right). \,$

Kun k=2 käyrää kutsutaan Cardanon ympyräksi. Girolamo Cardano oli ensimmäinen joka kuvasi hyposykloidin.

Jos k on kokonaisluku, käyrä sulkeutuu kun pikkuympyrä on vierinyt isomman ympyrän sisällä yhden kierroksen.

Jos k on rationaaliluku, yksinkertaistaen k = p/q niin käyrä sisältää p kulmaa.

Jos k on irrationaaliluku, ympyrä ei koskaan sulkeudu.

• Hyposykloidi esimerkkejä
• 

  k=3 - deltoidi

• 

  k=4 - astroidi

• 

  k=5

• 

  k=6

• 

  k=2.1

• 

  k=3.8

• 

  k=5.5

• 

  k=7.2

Hyposykloidi on Hyposykloidin erikoistapaus.

Kolmikulmainen hyposykloidi on nimeltään deltoidi.

Hyposykloidi voidaan piirtään myös spirografilla (lelu). Spirografi voi piirtää myös hypotrokoideja sekä epitrokoideja.

Nelikulmainen hyposykloidi on nimeltään astroidi.

Amerikkalaista jalkapalloa pelaavan Pittsburgh Steelersn logo, sisältää kolme astroidaa (hyposykloidia neljällä kärjellä.

Portlandin kaupungin lippu sisältää astroidin.

Katso myös

• Erikoistapaukset: Astroidi, Deltoidi
• Sykloidi
• Episykloidi
• Hypotrokoidi
• Epitrokoidi
• Spirografi

Aiheesta muualla

• MathWorld: Hypocycloid (englanniksi)
• City of Portland Flag (englanniksi)
• A free Javascript tool for generating Hypocyloid curves (englanniksi)