Heronin kaava

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmio, jonka sivut ovat a, b ja c.

Heronin kaavalla voidaan laskea kolmion pinta-ala, kun tiedetään sen kaikkien sivujen pituudet.

Formaalisti: Olkoon kolmion sivujen pituudet a, b ja c. Tällöin kolmion pinta-ala A saadaan kaavasta

A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, jossa p=(a+b+c)/2 on puolet kolmion piiristä.

Heronin kaava saa muodon

A={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}\rm,

kun p:n lauseke sijoitetaan yllä olevaan kaavaan.

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kaava on nimetty ensimmäisellä vuosisadalla eläneen Heron Aleksandrialaisen mukaan. Heronin kaavan todistus esiintyy hänen kirjoittamassaan kirjassa Metrica. On myös uskottu, että jo Arkhimedes tunsi kaavan, mutta on myös mahdollista, että kaava tunnettiin paljon ennen Arkhimedestä.

Heronin kaava korkeusjanojen pituuksien avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Heronin kaava voidaan kirjoittaa myös sellaiseen muotoon, jossa pinta-ala lausutaan kolmion sivujen pituuksien sijasta sen korkeusjanojen pituuksien h_1, h_2 ja h_3 avulla.

Asetetaan d=\frac{2}{h_1}, e=\frac{2}{h_2} ja f=\frac{2}{h_3}.

Tällöin

A=\frac{1}{\sqrt{q(q-d)(q-e)(q-f)}}, jossa q=(d+e+f)/2


Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.