Hardyn epäyhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hardyn epäyhtälö kuuluu matematiikassa seuraavasti: Olkoon A={a1,a2,...} jono epänegatiivisia reaalilukuja ja f epänegatiivinen integroituva funktio. Merkitään

A_n=a_1+a_2+\cdots +a_n

ja

F(x)=\int_0^x f(t)\operatorname{ d}t.

Tällöin kaikilla p > 1 on voimassa

\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{A_n}{n}\right )^p<\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty (a_n)^p

jos (an) ei ole nolla kaikilla indekseillä n. Integroituvalle funktiolle F Hardyn epäyhtälö sanoo

\int_0^\infty \left (\frac{F(x)}{x}\right)^p\operatorname{ d}x<\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty (f(x))^p\operatorname{d }x.

Yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f(x) = 0 melkein kaikkialla.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.