Hallin ilmiö

Kuvasarja havainnollistaa kuinka Hall-ilmiön suunta riippuu magneettikentän ja sähkövirran suunnista. A-kuvassa Hall-anturin yläreunaan kertyy negatiivisen varauksen ylijäämä, mitä havainnollistaa sininen väritys. Muut kuvat havainnollistavat tilannetta muilla magneettikentän ja virran suunnilla.
1. Elektroneja
2. Hall-anturi
3. Magneetit
4. Magneettikenttä
5. Virtalähde

Hallin ilmiössä magneettikentässä olevaan johdinkappaleeseen syntyy jännite (Hall-jännite), joka on poikittaissuuntainen kappaleessa kulkevaan sähkövirtaan ja magneettikenttään nähden. Ilmiön huomasi Edwin Hall vuonna 1879 työskennellessään ohuen kultakalvon kanssa. Myöhemmin ilmiön on todettu esiintyvän myös puolijohteilla.

Voimaa, joka saa aikaan Hallin ilmiön, kutsutaan Lorentzin voimaksi. Voima vaikuttaa elektroniin, joka kulkee magneettikentässä $\mathbf {B}$, seuraavan kaavan mukaan

$\mathbf {F} =-q(\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),$

missä $\mathbf {F}$ on Lorentzin voima (magneettinen voima), $q$ alkeisvaraus ja $\mathbf {v}$ elektronin nopeus.

Metallit

Otetaan tarkasteltavaksi suorakulmion muotoinen metallinen johde, jonka pituus on $l\,\!$, leveys $w\,\!$ ja paksuus $t\,\!$. Valitaan sähkövirran kulkusuunnaksi x-akselin positiivinen suunta ja asetetaan magneettikenttä z-akselin suuntaiseksi. Elektronien ajautuessa magneettisen voiman vaikutuksesta johteen laitaan, syntyy johteen reunojen välille sähkökenttä, joka on vastakkaissuuntainen magneettiselle voimalle. Syntynyt sähkökenttä kumoaa magneettisen voiman vaikutuksen, ja tämän seurauksena elektronit kulkevat jälleen suoraan johteessa. Aika, joka tarvitaan tasapainon saavuttamiseksi on luokkaa 0,01 ps. magneettisen voiman kumoavaa sähkökenttää kutsutaan Hall-kentäksi.

$E_{H}=+v_{x}B_{z}\,\!$

Käyttämällä sähkövirran tiheyden määritelmää sekä tietoa, että jännite on Ed, missä d on potentiaalipisteiden välinen etäisyys, saadaan kaava Hall-jännitteelle

$V_{H}={\frac {-I_{x}B_{z}}{nqt}},$

missä $I_{x}$ on johteessa kulkeva virta ja n elektronien tiheys.

Hall-jännite esitetään yleensä muodossa

$V_{H}={\frac {R_{H}I_{x}B_{z}}{t}},\,\!$

missä $R_{H}$ on Hall-kerroin.

$R_{H}=-1/nq\,\!$

Hall-kerroin on kääntäen verrannollinen varauksenkuljettajien tiheyteen. Metalleissa on paljon varauksenkuljettajia, ja Hall-kertoimet näin ollen pieniä. Kullalla ja kuparilla $R_{H}$ on suuruusluokkaa $-0{,}5\cdot 10^{-10}{\rm {m^{3}/As}}$.

Puolijohteet

Puolijohteissa sähkövirran kuljetukseen osallistuvat elektronien lisäksi myös aukot, joten molemmat varauksenkuljettajat on otettava huomioon laskettaessa Hall-jännitettä. Otetaan tarkasteltavaksi samanlainen suorakaiteen muotoinen puolijohdepala, kuin tarkasteltaessa ilmiötä metalleilla. Valitaan myös koordinaatisto samalla tavalla. Lähtemällä liikkeelle Lorentzin voiman kumoavasta jännitteestä ja laskemalla elektronien sekä aukkojen virta x-akselin suuntaan tasapainotilassa, saadaan johdettua kaava Hall-kertoimelle.

$R_{H}={\frac {p\mu _{p}^{2}-n\mu _{n}^{2}}{q(p\mu _{p}+n\mu _{n})^{2}}}$

Kaavassa $p\,\!$ on aukkojen tiheys, $\mu _{p}\,\!$ aukkojen liikkuvuus, $n\,\!$ elektronien tiheys ja $\mu _{n}\,\!$ elektronien liikkuvuus.

N-tyypin puolijohteille, joilla $n\gg p$, Hall-kerroin supistuu muotoon, joka on sama kuin metalleilla. Enemmistövarauksen kuljettajina toimivat elektronit, joten Hall-kerroin on negatiivinen.

$R_{H}({\rm {elektronit}})=-1/nq\,\!$

P-tyypin puolijohteilla taas aukkojen tiheys on paljon suurempi kuin elektronien tiheys ($p\gg n$), ja Hall-kerroin on

$R_{H}({\rm {aukot}})=1/pq.\,\!$

Katso myös

• Kvantittunut Hallin ilmiö

Lähteet

1. S. Middlehoek, S.A. Audet: Silicon Sensors. TUDelft, 1994.

Aiheesta muualla

• Science World artikkeli