Hagen-Poiseuillen yhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hagen–Poiseuillen yhtälö tai Poiseuillen yhtälö on virtausdynamiikan yhtälö, jonka avulla voidaan määrittää painehäviö laminaariselle virtaukselle poikkileikkaukseltaan ympyränmuotoisessa putkessa. Sen johtivat toisistaan riippumatta Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen vuonna 1839 ja Jean Léonard Marie Poiseuille vuonna 1838. Yhtälön julkaisi ensimmäistä kertaa Poiseuille vuosina 1840 ja 1846.

Hagen–Poiseuillen yhtälö on muotoa:

 \Delta P = \frac{128 \mu L q_v}{\pi d^4}

missä:

ΔP on painehäviö
μ on nesteen dynaaminen viskositeetti
L on putken pituus
qv on tilavuusvirta
d on putken halkaisija

Matemaattinen johto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähdetään Navier–Stokesin yhtälöistä. Oletetaan virtaus stationääriseksi ja sylinterisymmetriseksi sekä putken suunnassa homogeeniseksi, jolloin jäljelle jää

0=-\frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2 \vec{u}(r)\,

missä \rho on fluidin tiheys, \mu sen kinemaattinen viskositeetti, \vec{u}(r) säteestä riippuva virtausnopeus ja \nabla osittaisdifferentiaalioperaattori. Kirjoitetaan tämä vielä skalaarimuotoon sylinterisymmetrisyys ja x-suuntainen homogeenisuus huomioon ottaen:

-\frac{\Delta P}{L} = \mu \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r}\right)\,

Nyt kaksi kertaa integroimalla ja asettamalla rajaehdot u(r=0)<\infty ja u(r=R)=0 saadaan ratkaisu

u(r)=\frac{\Delta P}{4L\mu}(R^2-r^2)\,

eli putkivirtauksen poikkileikkaus on paraboloidin muotoinen.

Toisaalta integroimalla edellinen lauseke putken poikkileikkauksen S yli saadaan tilavuusvirta eli

q_v = \iint_S u(r)\text{ d}y\text{ d}z = \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\textrm{ d}\phi \int_{r=0}^{r=R} \frac{\Delta P}{4L\mu}(R^2-r^2)r\textrm{ d}r = \frac{\Delta P \pi R^4}{8L\mu}\,

mistä Hagen–Poiseuillen yhtälö seuraa kirjoittamalla d=2R ja ratkaisemalla painehäviö \Delta P.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.