Gilbreathin konjektuuri

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Gilbreathin konjektuuri on alkulukuihin liittyvä lukuteoriaotaksuma, jonka Norman L. Gilbreath julkaisi vuonna 1958.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjoitetaan kaikki alkuluvut jonoon:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

Muodostetaan sitten näin saadusta jonosta kahden peräkkäisen luvun erotuksen itseisarvo ja tehdään näistä uusi jono. Jatkamalla näin saadaan seuraavat jonot:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 2, ...

Yhtäpitävästi olkoon a_n jonon n:s alkio ja b_n uuden jonon n:s alkio. Nyt

b_n = |a_n - a_{n+1}|.

Gilbreathin konjektuurin mukaan jokaisen jonon ensimmäinen luku on 1, lukuun ottamatta ensimmäistä jonoa. Jokaisen jonon toinen luku on siis oltava 0 tai 2, lukuun ottamatta ensimmäistä jonoa. Otaksuma on varmistettu todeksi lukuun 1013 asti.

Jo ennen Gilbreathia François Proth oli löytänyt ja julkaissut ilmiön vuonna 1878. Proth väitti myös todistaneensa sen, mutta todistus oli virheellinen.[1]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Chris Caldwell, The Prime Glossary: Gilbreath's conjecture.