Normaalijakauma

Wikipedia
Ohjattu sivulta Gaussin käyrä
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Normaalijakauma
Tiheysfunktio
Normaalijakauman tiheysfunktio
Punainen kuvaaja on standardoitu normaalijakauma
Kertymäfunktio
Normaalijakauman kertymäfunktio
Merkintä \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)
Parametrit μR — keskiarvo (sijainti)
σ2 > 0 — varianssi (neliöity skaala)
Määrittelyjoukko xR
Tiheysfunktio \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}
Kertymäfunktio \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right]
Odotusarvo μ
Mediaani μ
Moodi μ
Varianssi \sigma^2\,
Vinous 0
Huipukkuus 0
Entropia \frac12 \ln(2 \pi e \, \sigma^2)
Momentit generoiva funktio \exp\{ \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2t^2 \}
Karakteristinen funktio \exp \{ i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2 \}
Fisherin informaatiomatriisi \begin{pmatrix}1/\sigma^2&0\\0&1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}

Normaalijakauma (toisilta nimiltään Gaussin jakauma tai Gaussin kellokäyrä) on jatkuva todennäköisyysjakauma. Nimitys kellokäyrä tulee siitä, että tiheysfunktion kuvaaja muistuttaa vanhanaikaisen kellon sivukuvaa. Luonnontieteissä normaalijakaumalle on paljon käytännöllisiä tulkintoja.

Normaalijakauma on määritelty ja jatkuva kaikilla muuttujan reaaliarvoilla. Jos satunnaismuuttuja X on normaalijakautunut, niin merkitään

X \sim \operatorname{N}(\mu,\sigma^2) .

Parametri \mu \in \mathbb{R} on jakauman odotusarvo ja \sigma^2 > 0 on jakauman varianssi. Jakauman sijainti riippuu keskiarvoparametrista ja leveys varianssiparametrista. Jakauman tiheysfunktio on

f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} .

Normaalijakauman kertymäfunktio on integraali

 \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt,

jota ei voida ratkaista analyyttisesti alkeisfunktioiden avulla. Kertymäfunktion arvoja voidaan kuitenkin laskea numeerisilla menetelmillä.

Standardoitu normaalijakauma eli standardinormaalijakauma on yleisen normaalijakauman erikoistapaus \operatorname{N}(0,1). Standardoidussa normaalijakaumassa jakauman odotusarvo on 0 ja varianssi 1. Useimmissa matematiikan taulukkokirjoissa on taulukoituna standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja positiivisissa pisteissä. Normaalijakauman kertymäfunktion arvojen laskeminen numeerisesti on tarkempaa, mikäli jakauma on standardinormaalijakauma.[1]

Standardinormaalijakauman tapauksessa kertymäfunktio \phi (x) voidaan esittää myös siihen läheisesti liittyvän virhefunktion \operatorname{erf}(x) avulla seuraavasti:

\phi(x) = \frac{\mathrm{erf}(x) + 1}{2}.

Keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalijakaumalla on yhteys muihinkin jakaumiin. Tiettyjen lievien oletusten ollessa voimassa ja poimimalla riippumattomasti samasta jakaumasta suuri määrä satunnaismuuttujan arvoja, saadaan tulokseksi normaalijakauma riippumatta alkuperäisen jakauman muodosta.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Normaalijakauma.