Normaalijakauma

Wikipedia
Ohjattu sivulta Gaussin käyrä
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Normaalijakauma
Tiheysfunktio
Normaalijakauman tiheysfunktio
Punainen kuvaaja on standardoitu normaalijakauma
Kertymäfunktio
Normaalijakauman kertymäfunktio
Merkintä \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)
Parametrit μR — keskiarvo (sijainti)
σ2 > 0 — varianssi (neliöity skaala)
Määrittelyjoukko xR
Tiheysfunktio \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}
Kertymäfunktio \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right]
Odotusarvo μ
Mediaani μ
Moodi μ
Varianssi \sigma^2\,
Vinous 0
Huipukkuus 0
Entropia \frac12 \ln(2 \pi e \, \sigma^2)
Momentit generoiva funktio \exp\{ \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2t^2 \}
Karakteristinen funktio \exp \{ i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2 \}
Fisherin informaatiomatriisi \begin{pmatrix}1/\sigma^2&0\\0&1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}

Normaalijakauma (toisilta nimiltään Gaussin jakauma tai Gaussin kellokäyrä) on jatkuva todennäköisyysjakauma. Nimitys kellokäyrä tulee siitä, että tiheysfunktion kuvaaja muistuttaa vanhanaikaisen kellon sivukuvaa. Luonnontieteissä normaalijakaumalle on paljon käytännöllisiä tulkintoja.

Normaalijakauma on määritelty ja jatkuva kaikilla muuttujan reaaliarvoilla. Jos satunnaismuuttuja X on normaalijakautunut, niin merkitään

X \sim \operatorname{N}(\mu,\sigma^2) .

Parametri \mu \in \mathbb{R} on jakauman odotusarvo ja \sigma^2 > 0 on jakauman varianssi. Jakauman sijainti riippuu keskiarvoparametrista ja leveys varianssiparametrista. Jakauman tiheysfunktio on

f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} .

Normaalijakauman kertymäfunktio on integraali

 \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt,

jota ei voida ratkaista analyyttisesti alkeisfunktioiden avulla. Kertymäfunktion arvoja voidaan kuitenkin laskea numeerisilla menetelmillä.

Standardoitu normaalijakauma eli standardinormaalijakauma on yleisen normaalijakauman erikoistapaus \operatorname{N}(0,1). Standardoidussa normaalijakaumassa jakauman odotusarvo on 0 ja varianssi 1. Useimmissa matematiikan taulukkokirjoissa on taulukoituna standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja positiivisissa pisteissä. Normaalijakauman kertymäfunktion arvojen laskeminen numeerisesti on tarkempaa, mikäli jakauma on standardinormaalijakauma.[1]

Standardinormaalijakauman tapauksessa kertymäfunktio \phi (x) voidaan esittää myös siihen läheisesti liittyvän virhefunktion \operatorname{erf}(x) avulla seuraavasti:

\phi(x) = \frac{\mathrm{erf}(x) + 1}{2}.

Keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalijakaumalla on yhteys muihinkin jakaumiin. Tiettyjen lievien oletusten ollessa voimassa ja poimimalla riippumattomasti samasta jakaumasta suuri määrä satunnaismuuttujan arvoja, saadaan tulokseksi normaalijakauma riippumatta alkuperäisen jakauman muodosta.

Normaalijakaumaa koskevia lauseita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos X\sim N(\mu,\sigma^2), niin \frac{X-\mu}{\sigma }\sim N(0,1).

Jos X\sim N(\mu,\sigma^2) ja a ja b ovat vakioita, niin a+bX\sim N(a+b\mu,b^2\sigma^2).

Jos X_1,X_2,\ldots,X_k ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2), i=1,2,\ldots,k, niin X_1+X_2+\ldots+X_k\sim N(\mu_1+\mu_2+\ldots+\mu_k,\sigma_1^2+\sigma_2^2+\ldots+\sigma_k^2).

Jos X_1,X_2,\ldots,X_k ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja X_i\sim N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\ldots,k, niin satunnaismuuttujien keskiarvo noudattaa jakaumaa \frac{X_1+X_2+\ldots+X_k}{k}\sim N\left (\mu,\frac{\sigma^2}{k}\right ).

Normaalijakauman laskeminen tietokoneella[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkiksi Sagella voi laskea normaalijakauman N(0,1) likiarvon \Phi(1) seuraavasti:

sage: N(integrate(1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),x,-infinity,1))
0.841344746068543

Vastaavasti numeerisesti voidaan laskea, milloin vaikkapa \Phi(x)=0{,}95:

sage: import scipy.stats as st
sage: st.norm.ppf(0.95,0,1)
1.6448536269514722

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Normaalijakauma.