Gabrielin torvi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Gabrielin torvi on Evangelista Torricellin keksimä geometrinen kappale, jolla on äärellinen tilavuus mutta ääretön pinta-ala.

Gabrielin torvi

Gabrielin torvi on pyörähdyskappale, joka muodostuu kun käyrä y= \frac{1} {x} (x ≥ 1) pyörähtää kolmessa ulottuvuudessa x-akselin ympäri.[1] Kappaleen pinta-ala välillä x = 1 (jotta vältetään asymptootti kohdassa x = 0) ja x = a on 2\pi \ln a ja tilavuus \pi\left(1-\frac{1}{a}\right). Kun a lähestyy ääretöntä, pinta-ala lähestyy ääretöntä ja tilavuus lähestyy π:tä.

Kun Torricelli keksi kappaleen, sitä pidettiin paradoksina. Näennäinen paradoksi syntyy siitä, että jos tällainen kappale olisi olemassa, sen sisäpinnan maalaamiseen tarvittaisiin ääretön määrä maalia, koska pinta-ala on ääretön. Toisaalta koska tilavuus on äärellinen, torven voisi vain täyttää maalilla, jolloin myös sisäpinta maalautuisi. Paradoksi ratkeaa sillä, että torvi kapenee jatkuvasti ja viimeistään kun torvi on kapeampi kuin maalimolekyyli, ei torveen kaadettu maali enää maalaa sisäpintaa siitä pisteestä eteenpäin. Jos taas ajatellaan, että maalikerros olisi äärettömän ohut, riittäisi pisarakin maalia maalaamaan koko torven.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 1131. , 2003.