Funktio

Funktio $f: X \rightarrow Y$ liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden maalijoukon Y alkion.

Funktio eli kuvaus kertoo olioiden välisistä riippuvuussuhteista.

Formaalisti funktio $f\,$ joukolta $A\,$ joukkoon $B\,$ on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon $A\,$ alkioon täsmälleen yhden joukon $B\,$ alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla $f: A \rightarrow B$.

Funktioon $f:A\to B\,$ liittyviä joukkoja kutsutaan $f\,$:n lähtö- eli määrittelyjoukoksi ($A\,$) ja maali- eli arvojoukoksi ($B\,$). Määrittelyjoukon alkioita kutsutaan usein funktion argumenteiksi ja maalijoukon alkioita sen arvoiksi. Sitä, että $f\,$:n argumenttiin $x\in A$ liittämä arvo on $y\in B\,$, merkitään yleensä $y=f(x)\,$. Esimerkiksi asetetaan kuvitellussa tilanteessa määrittelyjoukoksi nelihenkinen perhe. Tämä on siis ihminen-tyyppisistä alkioista koostuva joukko, jossa on neljä alkiota. Asetetaan sitten arvojoukoksi kaikkien mahdollisten suomalaisten etunimien joukko. Koska jokaiseen ihmiseen voimme liittää jonkin yksikäsitteisen etunimen, niin voimme muodostaa funktion nelihenkisen perheen ja kaikkien etunimien joukon välille. Tämän funktion argumentit ovat perheen jäseniä ja arvot perheenjäsenten etunimet.

Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisin funktiotyyppi on sellainen, jossa lähtö- ja maalijoukot ovat lukujoukkoja ja funktion määrittelevä vastaavuus voidaan ilmaista laskutoimituksin. Tällöin on tavallista, joskin muodollisesti epäkorrektia nimetä funktio määrittelyjoukon yleiseen alkioon kohdistuvan laskutoimituksen osoittavalla kaavalla, esimerkiksi "funktio $x^2+1$".

Esimerkkejä yleisestä määritelmästä

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ on funktio reaalilukujoukolta reaalilukujoukolle. Tässä funktio f liittää jokaiseen reaalilukuun luvun itsensä.

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$ on funktio. Nyt funktio f liittää jokaiseen reaalilukuun tämän luvun neliön.

$f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x, y) = x^2 + y^2$ on funktio. Funktio f liittää jokaiseen reaalilukupariin koordinaattien neliöiden summan.

Eksakti määritelmä

Yleensä edellä annettu määritelmä riittää pitkällekin menevissä matematiikan tutkimuksissa ja sovelluksissa. Kuitenkin on tarpeellista joskus määritellä funktio täsmällisemmin kuin lausein ja sanoin. Olkoot jälleen $A\,$ ja $B\,$ joukkoja. Tällöin näiden karteesisen tulon osajoukko $f \subset A \times B\,$ on funktio jos sille pätevät ehdot

$\forall x\in A \exists y\in B : (x,\,y)\in f$

ja

$(x,y) \in f \Leftrightarrow \forall z \neq y  : (x,z) \notin f.$

Toisin sanoen pari $(x,\,y)$ on funktion $f\,$ alkio jos ja vain jos jokaisella alkiosta $y\,$ poikkeavilla alkioilla $z\,$ pari $(x,\,z)$ ei ole funktion $f\,$ alkio. Siispä funktiossa kukin $A\,$:n alkio esiintyy tarkalleen kerran $f$:n parin ensimmäisenä alkiona. Funktio on siis erikoistapaus yleisemmistä kaksipaikkaisista relaatioista.

Esimerkkejä eksaktista määritelmästä

Olkoon joukko $A = \{1, 2\}$ ja joukko $B = \{1, 2, 3\}$. Nyt näiden karteesinen tulo on joukko $A \times B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)\}$.

Funktiot joukossa $A \times B$ ovat osajoukot:

• $F_1 = \{(1, 1), (2, 1)\}$ eli $F_1 : A \rightarrow B, F_1(x) = 1$
• $F_2 = \{(1, 1), (2, 2)\}$ eli $F_2 : A \to B, F_2(x) = x$
• $F_3 = \{(1, 1), (2, 3)\}$ eli $F_3 : A \to B, F_3(x) = 2x - 1$
• $F_4 = \{(1, 2), (2, 1)\}$ eli $F_4 : A \to B, F_4(x) = 3 - x$
• $F_5 = \{(1, 2), (2, 2)\}$ eli $F_5 : A \to B, F_5(x) = 2$
• $F_6 = \{(1, 2), (2, 3)\}$ eli $F_6 : A \to B, F_6(x) = x + 1$
• $F_9 = \{(1, 3), (2, 3)\}$ eli $F_7 : A \to B, F_7(x) = 3$

Funktion kuvaaja

Funktion f(x)=x kuvaaja

Funktiota on yleensä tapana mahdollisuuksien puitteissa kuvata myös visuaalisesti. Tämän mahdollistaa funktion kuvaajan käsite. Täsmällisesti jos $f : A \rightarrow B$ on funktio, niin sen kuvaaja on karteesisen tulon $A \times B$ osajoukko

$\{ (x,f(x)) : x \in A \}.$

Funktion kuvaaja koostuu siis määrittelyjoukon alkion ja vastaavan arvojoukon alkion muodostamista pareista. Funktion kuvaajan määritelmä on identtinen yllä esitetyn funktion eksaktin määritelmän kanssa.

Esimerkiksi funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$, kuvaaja on määritelmän mukaan karteesisen tulon $\R \times \R$ osajoukko

$\{ (x,x) : x \in \R \}.$

Tässä tapauksessa koska joukko $\R \times \R$ on tavallinen 2-ulotteinen euklidinen avaruus $\R^2$, niin voidaan funktion f kuvaajaa hahmottaa visuaalisesti sijoittamalla tasoon kuvaaja-joukon pisteet kuten oheisessa kuvassa näkyy.

Yhdistetty funktio

Jos $f:A\to B$, $B\subset C$ ja $g:C\to D$, niin on määriteltävissä funktio $h:A\to D$ siten, että $h(x)=g(f(x))\,$. Funktio $h\,$ on funktioista $f\,$ ja $g\,$ yhdistetty funktio, ja sitä merkitään

$h=g\circ f$.

Jos esimerkiksi $A=B=C=D=\Bbb R\,$, $f(x)=x+2\,$ ja $g(x)=x^2\,$, niin $(f\circ g)(x)=x^2+2\,$ ja $(g\circ f)(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4\,$.

Vektorimuuttujan funktiot ja vektoriarvoiset funktiot

Kun funktion lähtöjoukko on hahmotettavissa useamman joukon karteesiseksi tuloksi, on usein tapana puhua usean muuttujan funktiosta tai vektorimuuttujan funktiosta. Jos $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in A_1\times A_2\times\dots \times A_n=A$, niin funktion $f:A\to B$ alkioon $x\,$ liittämää alkiota $f(x)\,$ merkitään yleensä $f(x_1,x_2,\dots,x_n)\,$. Esimerkiksi ilmanpaine $p\,$ tietyssä paikassa $(x,y,z)\,$ ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio $p(x,y,z,t)\,$. Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio: lukuparin $(x,\, y)$ yksikäsitteinen kuva on niiden summa $x+y\,$.

Vastaavasti funktion arvo voi olla usean joukon karteesisen tulon alkio. Tällöin on tapana puhua vektoriarvoisesta funktiosta. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona. Erityisesti fysiikassa vektoriarvoisen funktion sijasta puhutaan yleensä vektorikentästä. Esimerkiksi sähkökenttää voi kuvata funktio, joka liittää tiettyyn paikka- ja aika-avaruuden pisteeseen kentän suunnan, eli kyseessä on kuvaus

$f: \mathbb{R} ^4 \rightarrow \mathbb{R} ^3$.

Joukkojen kuvat ja alkukuvat

Olkoon $f : X \rightarrow Y$ funktio eli kuvaus.

• Joukon $A \subset X$ kuvajoukko eli kuva kuvauksessa $f\,$ on joukko

$f(A) = \{ f(x)\in Y : x \in A \}.$

Toisinaan kuvajoukkoa merkitään ilman sulkeita: $f(A)=fA\,$. Funktion kuvajoukko on siis arvojoukon $Y\,$ osajoukko ja se koostuu niistä $Y\,$:n alkioista, joille määrittelyjoukon osajoukon $A\,$ alkiot kuvautuvat kuvauksessa $f\,$. Jos asetamme osajoukoksi $A\,$ koko määrittelyjoukon $X\,$, ei välttämättä vastaava kuvajoukko $f(X)$ ole koko arvojoukko. Esimerkiksi funktion $f : \R \rightarrow \R$, $f(x) = x^2\,$, määrittelyjoukon kuva $f(\R) = [0,+\infty[$, joka on arvojoukon $\R$ aito osajoukko.

• Joukon $B \subset Y$ alkukuva kuvauksessa $f\,$ on joukko

$f^{-1}(B) = \{ x \in X : f(x) \in B \}.$

Funktion alkukuva on siis määrittelyjoukon $X\,$ osajoukko ja se koostuu niistä $X\,$:n alkioista, jotka kuvautuvat joukon $B\,$ alkioille kuvauksessa $f\,$. Yksittäisen alkion $y\in Y$ alkukuva on $f^{-1}(\{y\})$. Jos asetetaan osajoukoksi $B\,$ koko arvojoukko $Y\,$, niin vastaava alkukuva on koko määrittelyjoukko. Koko määrittelyjoukko voi kuitenkin olla jonkin arvojoukon aidon osajoukon alkukuva. Esimerkiksi funktion $f : \R \rightarrow \R$, $f(x) = x^2\,$, arvojoukon osajoukon $[0,+\infty[$ alkukuva on $\R$ eli koko määrittelyjoukko.

Alkeisfunktiot

Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisimpia reaalimuuttujan $x\,$ funktioita kutsutaan alkeisfunktioiksi. Alkeisfunktioita ovat ensinnäkin polynomit eli funktiot, jotka määritellään muuttujasta ja vakioista yhteen- ja kestolaskun avulla muodostetuilla laskulausekkeilla. Polynomifunktion $p\,$ yleinen muoto on

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.$

Polynomifunktioiden erikoistapauksia ovat vakiofunktiot $f(x)=c\,$, missä $c\,$ on jokin vakio, ja identtinen (reaalimuuttujan) funktio $f(x)=x\,$. Rationaalifunktiot $r\,$ määritellään lausekkein, joissa voi esiintyä yhteen- ja kertolaskun lisäksi myös jakolaskuja. Rationaalifunktion laskulauseke voidaan aina saattaa muotoon

$r(x)=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}$

eli kahden polynomifunktion osamaaräksi. Koska nimittäjä voi olla nolla, rationaalifunktion määrittelyjoukko ei yleensä voi olla koko reaalilukujen joukko. Kun funktion lausekkeen muodostamisessa saa käyttää myös juurenottoja, funktio on algebrallinen funktio.

Algebrallisten funktioiden lisäksi alkeisfunktioihin luetaan eksponenttifunktiot, logaritmifunktiot, trigonometriset funktiot käänteisfunktioineen ja kaikki näistä yhdistämällä muodostetut funktiot.

Funktion ydin ja kantaja

Algebrassa voidaan funktioille lisäksi määritellä ytimen käsite, joka on osoittautunut esimerkiksi isomorfisuuden tutkimisessa hyödylliseksi välineeksi.

Olkoon seuraavassa G ja G´ ryhmiä ja $f : G \rightarrow G'$ jokin funktio.

• Funktion $f\,$ ydin on joukko

$\mbox{Ker} (f) = \{ x \in G : f(x) = 0_{G'} \},$

missä merkintä $0_{G'}\,$ tarkoittaa arvojoukon $G'\,$ nolla-alkiota. Toisin sanoen funktion ydin koostuu niistä määrittelyjoukon alkioista, jotka kuvautuvat nolla-alkiolle. Funktion ydin on siis erityisesti nolla-alkion muodostaman yksiön alkukuva. Esimerkiksi funktion $f : \R \rightarrow \R$, $f(x) = x^2\,$, ydin koostuu pelkästä luvusta 0 sillä $f(x) = 0\,$ jos ja vain jos $x = 0\,$.

Erityisesti funktionaalianalyysissä hyödyllinen käsite on funktion kantaja. Jos funktion määrittelyjoukko on topologinen avaruus ja arvojoukko on reaali- tai kompleksilukujen joukko, funktion kantaja on joukon $f^{-1}(\Bbb R\setminus \{0\})$ ($f^{-1}(\Bbb C \setminus \{0\})$) sulkeuma eli pienin kyseisen joukon sisältävä suljettu joukko.

Funktiokäsitteen historiaa

Sanan funktio etymologia perustuu latinan verbiin fungi, 'tehdä, toimia, toimittaa'. Sanaa sen matemaattisessa merkityksessä käytti ensimmäisenä saksalainen G. W. Leibniz vuonna 1694. Sveitsiläinen Johann Bernoulli käytti vuonna 1718 merkintää $\phi x\,$. Merkintää $f(x)\,$ käyttivät ensi kerran ranskalainen Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) ja sveitsiläinen Leonhard Euler vuonna 1734. Funktiolla ymmärrettiin pitkään laskulausekkeen tulosta, mutta jo Eulerilla esiintyy ajatus funktiosta minä hyvänsä lukujen välisenä yhteytenä. Saksalainen Peter Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) esitti vuonna 1837 olennaisesti nykyisen funktion määritelmän, joka ei sido funktiota lukujen laskutoimituksiin.

Erityisesti Cauchyn, Riemannin ja Weierstrassin havainnnot kompleksilukumuuttujan kompleksilukuarvoisista funktioista synnyttivät 1800-luvulla funktioteoriaksi kutsutun matematiikan osa-alueen. Sen tutkimus on ollut elinvoimaista Suomessa 1900-luvulla.

Funktion ominaisuuksia

Funktiolle on määritelty paljon erilaisia ominaisuuksia:

• affiinisuus
• bijektiivisyys
• derivoituvuus
• injektiivisyys
• integroituvuus
• jatkuvuus
• konveksisuus ja konkaavisuus
• lineaarisuus
• surjektiivisuus
• symmetrisyys

Katso myös

• Derivaatta
• Integraalilaskenta
• Käänteisfunktio
• Matemaattinen optimointi
• Osittaisfunktio
• Polynomi
• Trigonometrinen funktio