Fubinin lause

Fubinin lause on tärkeä integraalilaskennan lause. Se antaa menetelmän, jonka avulla moniulotteinen integrointi palautetaan peräkkäisiksi yksiulotteisiksi integroinneiksi tyhjennysmenetelmän ja Cavalierin viipalointiperiaatteen mukaisesti. Näin funktion integraali voidaan laskea iteratiivisesti sisäkkäisinä integraaleina eli iteroituina integraaleina. Lauseen todisti ensimmäisenä italialainen matemaatikko Guido Fubini, ja hänen mukaansa se on myös nimetty.

Lause

Olkoon $A = [a, b] \times [c, d] \sub \mathbb{R}^2$, ja olkoon funktio $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ integroituva. Jos jokaiselle $y \in [c, d]$ tiedetään, että funktion f osittaisleikkaus

$f_y : [a, b] \rightarrow \mathbb{R},\ f_y(x) = f(x, y)$

on integroituva, niin silloin funktio

$F : [c, d] \rightarrow \mathbb{R},\ F(y) = \int_a^b f_y = \int_a^b f_y(x) dx = \int_a^b f(x, y) dx$

on integroituva, ja on voimassa Fubinin yhtälö

$\int_A f = \int_A f(x, y) d(x, y) = \int_c^d F(y) dy = \int_c^d \int_a^b f(x, y) dx dy.$

.

Lauseen arvo on siinä, että 2-ulotteisen tason integraalin laskeminen voidaan sen avulla palauttaa 1-ulotteisten integraalien laskemiseen, joiden kohdalla on usein sovellettavissa helppoja sääntöjä integraalin arvon määrittämiseksi.

Käytössä huomattavaa

Erillinen vaatimus funktion $\mathbf{}f$ integroitavuudesta on oleellinen, sillä on olemassa muun muassa sellainen $\mathbf{}A$:ssa rajoitettu $\mathbf{}f$, että $\mathbf{}f$ ei ole $\mathbb{R}^2$-integroituva, mutta silti jokaisella $y \in [c, d]$ on voimassa $\mathbf{}F(y)=0$, jolloin selvästi myös $\int_c^d F(y) dy =0$, eli ensin x-akselin ja sitten y-akselin suuntaiset "1-ulotteiset viipaleintegraalit" saadaan silti otettua. Tässä $\mathbb{R}^2$-integroituvuus tarkoittaa $\mathbf{}A$-tasosuorakulmion yhä tiheämpää ja tiheämpää osittamista äärellisen moneen pienempään tasosuorakulmioon (Mikä tasossa vastaa tavallisessa 1-ulotteisessa Riemann-integraalissa tapahtuvaa $[a,b]$-välin jakoa äärellisen moneen osaväliin.) niin, että niistä sup-arvoilla otettu Darboux'n yläsumma ja inf-arvoilla otettu Darboux'n alasumma pääsevät mielivaltaisen lähelle toisiaan, jolloin niiden yhteisesti lähestymä arvo on $\mathbf{}f$:n $\mathbb{R}^2$-tasossa otettu Riemann-integraali. Funktio $\mathbf{}f$ ei siis ole $\mathbb{R}^2$-Riemann-integroituva, jos on olemassa kiinteä 0:aa aidosti suurempi arvo $\mathbf{}v>0$ niin, että millä tahansa äärellisellä tasosuorakulmio-osituksella yläsumma on ainakin $\mathbf{}v$:n verran vastaavaa alasummaa suurempi, jolloin yläsummat ja alasummat eivät pääse mielivaltaisen lähelle toisiaan.

Käytännössä tämä kysymys ei kovin usein esiinny, sillä $\mathbf{}f$:n ollessa esimerkiksi jatkuva $\mathbf{}A$:ssa $\mathbf{}f$ on varmasti $\mathbb{R}^2$-integroituva ja jokaisella $y \in [c, d]$ osittaisleikkaus on 1-ulotteisesti integroituva, jolloin Fubinin lausetta voidaan siis soveltaa.

Yleistyksiä

Fubinin lauseesta on olemassa myös yleisempiä versioita, muun muassa sen mittateoreettinen versio.