Fermin–Diracin statistiikka

Fermin–Diracin statistiikka on statistisessa fysiikassa jakaumalaki, joka kuvaa identtisten, heikosti vuorovaikuttavien fermionien energiajakaumaa termodynaamisessa tasapainotilassa. Fermionit ovat alkeishiukkasia, jotka noudattavat Paulin kieltosääntöä ja joita tämän vuoksi voi olla vain yksi samalla yksihiukkastilalla toisin kuin bosoneja, joita tämä rajoitus ei koske. Fermioneja ovat esimerkiksi protonit, neutronit ja elektronit.

Paulin kieltosäännön esitti Wolfgang Pauli vuonna 1925. Sen perusteella Enrico Fermi ja Paul Dirac johtivat seuraavana vuonna toisistaan riippumatta Fermin–Diracin jakaumalain.

Eri statistiikkojen vertailua

Statistisessa fysiikassa käytetään kolmea erilaista jakaumaa, jotka ovat:

• Maxwellin-Boltzmannin statistiikka
• Bosen-Einsteinin statistiikka
• Fermin–Diracin statistiikka

Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa sovelletaan molekyyleihin klassisessa termodynamiikassa. Kvanttiteoria on kuitenkin osoittanut, ettei se sovellu minkään alkeishiukkasen energiajakauman kuvaamiseen muutoin kuin tietyissä tapauksissa likimääräisesti.

Bosen–Einsteinin statistiikka soveltuu bosoneille kuten fotoneille ja mesoneille. Fermin–Diracin statistiikka soveltuu fermioneille kuten elektroneille ja protoneille, joita Paulin kieltosäännön mukaan ei voi olla useampi kuin yksi samassa kvanttitilassa.

Sekä Maxwellin-Boltzmannin että Bosen-Einsteinin statistiikassa oletetaan, että jokaisessa energiatilassa voi olla rajoittamaton määrä hiukkasia. Bosen-Einsteinin statistiikassa oletetaan kuitenkin, toisin kuin klassisessa Maxwellin-Boltzmannin statistiikassa, ettei hiukkasia periaatteessakaan voida yksilöidä, minkä vuoksi jakaumalakia johdettaessa symmetriset alkeistapaukset muodostetaan eri tavoin. Sitä vastoin Fermin-Diracin statistiikassa otetaan huomioon, että kullakin kvanttitilalla voi samanaikaisesti olla enintään yksi hiukkanen.

Jakaumalaki

Kun sekä hiukkasten että energiatilojen lukumäärä ovat suuria lukuja, hiukkasten todennäköinen lukumäärä energiatilassa i on Fermin–Diracin statistiikassa:

$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}$

missä $\varepsilon _{i}>\mu$ ja:

n_i  on tilassa i olevien hiukkasten lukumäärä

g_i  on tilan i degeneraatio

ε_i  on tilan i energia

μ on kemiallinen potentiaali

k on Boltzmannin vakio

T on absoluuttinen lämpötila

Energiatilan degeneraatiolla tarkoitetaan niiden kvanttitilojen lukumäärää, joissa hiukkasella on tietty määrä energiaa. Paulin kieltosäännöstä seuraa, että tämä on samalla suurin määrä hiukkasia, joilla voi samanaikaisesti olla tietty määrä energiaa.

Jos $\varepsilon _{i}-\mu$ on paljon pienempi kuin $kT$, tämä voidaan pyöristää muotoon

$n_{i}={\frac {g-i}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kt}}}=(g-i)e^{(-\varepsilon _{i}-\mu )/kt}$,

mikä on sama kuin Maxwellin–Boltzmannin jakaumalaki.

• Fermin-Diracin jakauma
• 
  Eri energiatilojen täyttöaste. Korkeammassa lämpötilassa T käyrä on loivempi, ja ${\bar {n}}$=0.5 kun $\epsilon \;$ = $\mu \;$.
  Vaikka kaaviosta ei käy ilmi, $\mu$ alenee lämpötilan T noustessa T.
  
• 
  Energian $\epsilon >\mu \$ riippuvuus lämpötilasta T.
  

Fermin–Diracin jakaumalain johtaminen

Oletetaan, että on olemassa joukko energiatasoja, jotka on merkitty indeksinumeroilla $\displaystyle i$. Kunkin energiatilan energia on $\displaystyle \varepsilon _{i}$, ja siinä on $\displaystyle n_{i}$ hiukkasta. Oletetaan edelleen, että kukin tila jakautuu vielä $\displaystyle g_{i}$ erilliseen alatasoon, joista jokaisella on yhtä suuri energia mutta jotka jollakin muulla tavalla eroavat toisistaan. Näillä eri alatasoilla olevilla hiukkasilla voi esimerkiksi olla eri suuri liikemäärä mutta sama määrä energiaa. Tasoon $\displaystyle i$ liittyvien tilojen lukumäärää $\displaystyle g_{i}$ sanotaan tämän energiatason "degeneraatioksi". Kullakin tällaisella alatasolla voi olla vain yksi hiukkanen.

Olkoon $\displaystyle w(n,g)$ niiden tapojen lukumäärä, joilla $\displaystyle n$ hiukkasta voidaan sijoittaa näille yhteensä $\displaystyle g$ energiatason alatasolle. Kun hiukkasia voi olla vain yksi kullakin alatasolla, tällaisia tapoja on yhtä monta kuin g-alkioisella joukolla in n-alkoisia osajoukkoja eli

$w(n,g)={\frac {g!}{n!(g-n)!}}$

Niinpä niiden tapojen lukumäärä, joilla hiukkaset voivat jakautua eri energiatasojen kesken, saadaan kertomalla eri energiatasoja vastaavat lukumäärät keskenään:

$W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g!}{n!(g-n)!}}$

kun oletetaan, että $g_{i}\gg 1$.

Systeemi on termodynaamisessa tasapainotilassa, kun W:llä on suurin mahdollinen arvo. Tämä vastaa jakaumaa, jonka todennäköisyys on suurin. Jos oletetaan, että hiukkasten kokonaismäärä ja yhteenlaskettu energia tunnetaan, suureet $\displaystyle W$ ja $\displaystyle \ln(W)$ saavat maksiminsa samalla $\displaystyle N_{i}$:n arvolla, joista se on matemaattisesti helpompi johtaa jälkimmäiselle. Voidaan rajoittua ratkaisuihin, jotka saadaan Lagrangen kertoimien avulla:

$f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})$

Jos oletetaan, että $g_{i}$ on hyvin suuri luku, voidaan kertomalle laskea likiarvo Stirlingin kaavalla:

$\left(\ln(x!)\approx x\ln(x)-x\right)$,

jolloin saadaan

$f(n_{i})=\sum _{i}(g_{i}\ln(g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})-(g_{i}-n_{i})\ln(g_{i}-n_{i}))+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).$

Tämän maksimi saadaan ottamalla siitä derivaatta $\displaystyle n_{i}$:n suhteen ja etsimällä derivaatalle nollakohta. Tällöin saadaan Fermin–Diracin statistiikan mukainen lukumäärä:

$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.$

Termodynamiikan avulla voidaan osoittaa, että tässä kaavassa esiintyvät parametrit $\alpha$ ja $\beta$ vastaavat systeemiin liittyviä fysikaalisia suureita seuraavasti:

$\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{kT}}$ ja
$\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}$,

missä $\displaystyle k$ on Boltzmannin vakio, $\displaystyle T$ absoluuttinen lämpötila ja $\mu$ systeemin kemiallinen potentiaali. Näin ollen kaava voidaan lopulta kirjoittaa muotoon

$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}.$

Katso myös

• Maxwellin–Boltzmannin jakauma
• Bosen–Einsteinin statistiikka

Lähteet

• Annett, James F. (2004). Superconductivity, Superfluids and Condensates. New York: Oxford University Press. ISBN 0198507550. 
• Carter, Ashley H. (2001). Classical and Statistical Thermodynamics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0137792085. 
• Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics, 2nd, Upper Saddle River, NJ: Pearson, Prentice Hall. ISBN 0131911759.