Fermat'n luku

Fermat'n luku on luku muotoa $F_n=2^{2^n}+1$, missä n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Ensimmäiset Fermat'n luvut ovat :

F0 = 21	+	1	=	3
F1 = 22	+	1	=	5
F2 = 24	+	1	=	17
F3 = 28	+	1	=	257
F4 = 216	+	1	=	65 537
F5 = 232	+	1	=	4 294 967 297

Näistä luvut 3, 5, 17, 257 ja 65 537 ovat alkulukuja, mutta ei tiedetä, onko Fermat'n luku alkuluku millään arvolla, kun $n>4$. Fermat'n luvut liittyvät läheisesti säännöllisten monikulmioiden konstruoimiseen: Gauss todisti, että säännöllinen monikulmio on mahdollista piirtää harpilla ja viivoittimella jos ja vain jos monikulmion kulmien lukumäärä on muotoa $2^{k_0}F_{k_1}F_{k_2} \cdots F_{k_n}$, missä $F_{k_1},\cdots ,F_{k_n}$ ovat erisuuria Fermat'n alkulukuja.

Fermat'n luvut on nimetty harrastelijamatemaatikko Pierre de Fermat'n mukaan. Tämä itse otaksui, että kaikki Fermat'n luvut olisivat alkulukuja. Otaksuman kumosi Leonhardt Euler vuonna 1732 osoittamalla, että $F_5=641 \cdot 6700417$. Myöhemmin suuremmillekin Fermat'n luvuille on löydetty alkutekijöitä ja moni lukuteoreetikko uskookin, että muita kuin Fermat'n tuntemia Fermat'n alkulukuja ei merkittävissä määrin ole olemassa.

Aiheesta muualla

• Fermat'n lukujen alkutekijöitä
• Projekti, joka etsii Fermat'n lukujen alkutekijöitä