Eulerin karakteristika
Wikipedia
Eulerin karakteristika on eräs algebrallisen topologian invariantti, joka kuvastaa topologisen avaruuden rakennetta.
Eulerin karakteristika määriteltiin alun perin monitahokkaalle ja sitä käytettiin todistamaan monia monitahokkaita koskevia lauseita, kuten esimerkiksi kaikkien säännöllisten monitahokkaiden karakterisoimiseen. Alkuaikoina erityisesti Leonhard Euler tutki Eulerin karakteristikaa. Nykymatematiikassa Eulerin karakteristika esiintyy homologiateoriassa ja sillä on yhteyksiä moniin muihin algebrallisen topologian invariantteihin.
[muokkaa] Monitahokas
Eulerin karakteristika χ määritellään monitahokkaalle kaavalla
missä V, E ja F ovat kärkien, särmien ja tahkojen lukumäärä. Jokaiselle monikulmiolle, joka on homeomorfinen pallon kassa, Eulerin karakteristika saa muodon
Tämä tulos tunnetaan Eulerin kaavana.
[muokkaa] Esimerkkejä konvekseista monitahokkaista
Jokainen konveksi monitahokas on homeomorfinen pallon kanssa, joten konveksin monitahokkaan Eulerin karakteristika on 2 Eulerin kaavan perusteella. Tätä voidaan käyttää sen osoittamiseen, että on olemassa vain viisi säännöllistä monitahokasta:
| Nimi | Kuva | V (kärjet) | E (särmät) | F (tahkot) | Eulerin karakteristika: V − E + F |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedri |  |
4 | 6 | 4 | 2 |
| Heksaedri eli kuutio |  |
8 | 12 | 6 | 2 |
| Oktaedri |  |
6 | 12 | 8 | 2 |
| Dodekaedri |  |
20 | 30 | 12 | 2 |
| Ikosaedri |  |
12 | 30 | 20 | 2 |
