Eulerin karakteristika

Eulerin karakteristika on eräs algebrallisen topologian invariantti, joka kuvastaa topologisen avaruuden rakennetta.

Eulerin karakteristika määriteltiin alun perin monitahokkaalle ja sitä käytettiin todistamaan monia monitahokkaita koskevia lauseita, kuten esimerkiksi kaikkien säännöllisten monitahokkaiden karakterisoimiseen. Alkuaikoina erityisesti Leonhard Euler tutki Eulerin karakteristikaa. Nykymatematiikassa Eulerin karakteristika esiintyy homologiateoriassa ja sillä on yhteyksiä moniin muihin algebrallisen topologian invariantteihin.

Monitahokas

Eulerin karakteristika $\chi$ määritellään monitahokkaalle kaavalla

$\chi =V-E+F,\,\!$

missä V, E ja F ovat kärkien, särmien ja tahkojen lukumäärä. Karakteristikan merkitys on siinä, että se riippuu vain monitahokkaan topologisista ominaisuuksista. Voidaan osoittaa, että karakteristika riippuu vain monitahokkaan muodostaman pinnan genuksesta ja suunnistuksesta. Merkitään genusta kirjaimella g (g on aina positiivinen kokonaisluku tai nolla). Jos pinta on suunnistettu, niin

$\chi =V-E+F=2-2g.\,\!$

Jos monitahokas on homeomorfinen pallon kanssa, niin g=0, joten tällöin

$\chi =V-E+F=2.\,\!$

Erityisesti jos monitahokas on konveksi, niin g=0. Tämä tulos tunnetaan Eulerin monitahokaslauseena.

Esimerkkejä konvekseista monitahokkaista

Konveksin monitahokkaan Eulerin karakteristika on siis 2. Tätä voidaan käyttää sen osoittamiseen, että on olemassa vain viisi säännöllistä monitahokasta:

Nimi	Kuva	V (kärjet)	E (särmät)	F (tahkot)	Eulerin karakteristika: V − E + F
Tetraedri		4	6	4	2
Heksaedri eli kuutio		8	12	6	2
Oktaedri		6	12	8	2
Dodekaedri		20	30	12	2
Ikosaedri		12	30	20	2