Eulerin karakteristika

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Eulerin karakteristika on eräs algebrallisen topologian invariantti, joka kuvastaa topologisen avaruuden rakennetta.

Eulerin karakteristika määriteltiin alun perin monitahokkaalle ja sitä käytettiin todistamaan monia monitahokkaita koskevia lauseita, kuten esimerkiksi kaikkien säännöllisten monitahokkaiden karakterisoimiseen. Alkuaikoina erityisesti Leonhard Euler tutki Eulerin karakteristikaa. Nykymatematiikassa Eulerin karakteristika esiintyy homologiateoriassa ja sillä on yhteyksiä moniin muihin algebrallisen topologian invariantteihin.

Monitahokas[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eulerin karakteristika \chi määritellään monitahokkaalle kaavalla

\chi=V-E+F, \,\!

missä V, E ja F ovat kärkien, särmien ja tahkojen lukumäärä. Jokaiselle konveksille monikulmiolle, joka on homeomorfinen pallon kanssa, Eulerin karakteristika saa muodon

\chi = V-E+F = 2. \,\!

Tämä tulos tunnetaan Eulerin monitahokaslauseena.

Esimerkkejä konvekseista monitahokkaista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokainen konveksi monitahokas on homeomorfinen pallon kanssa, joten konveksin monitahokkaan Eulerin karakteristika on 2 Eulerin kaavan perusteella. Tätä voidaan käyttää sen osoittamiseen, että on olemassa vain viisi säännöllistä monitahokasta:

Nimi Kuva V (kärjet) E (särmät) F (tahkot) Eulerin karakteristika: VE + F
Tetraedri Tetrahedron.svg 4 6 4 2
Heksaedri eli kuutio Hexahedron.svg 8 12 6 2
Oktaedri Octahedron.svg 6 12 8 2
Dodekaedri POV-Ray-Dodecahedron.svg 20 30 12 2
Ikosaedri Icosahedron.svg 12 30 20 2