Eilenbergin–Steenrodin aksioomat

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Eilenbergin–Steenrodin aksioomat ovat kokoelma ominaisuuksia, jotka topologisten avaruuksien tutkimiseen käytettävien homologiateorioiden on toteutettava. Nämä ominaisuudet toteuttavat teoriat tuottavat samat keskeiset tulokset ja samat homologiset ominaisuudet samoille topologisille avaruuksille.

Aksioomien tuoma hyöty on kahtalainen: Ennen kuin Samuel Eilenberg ja Norman Steenrod tunnistivat ja kokosivat aksioomat, erilaisia homologiateorioita oli paljon, eikä perusteellisesti ymmärretty miksi ne tuottavat samat tulokset. Toisaalta erilaisia teorioita (kuten simpleksihomologia, singulaarinen homologia ja Čechin homologia) tarvitaan koska kaikkia topologisia avaruuksia ei voida - eikä kannata - analysoida samoilla homologiateorioilla, ja aksioomien toteutuminen takaa että jos jokin avaruus voidaan analysoida kahdella eri homologiateorialla, ne tuottavat samat tulokset.

Formaalisti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aksioomat koskevat topologisten avaruuksien pareja (A,B) joissa B on A:n aliavaruus, sekä perhettä funktoreita H_i, jotka liittävät kuhunkin pariin perheen Abelin ryhmiä (nämä ovat parin homologiaryhmät). Lisäksi se koskee reunahomomorfismien indusoimia kuvauksia \partial_* : H_{i}(X, A) \to H_{i-1}(A). Homologiaryhmät käytännössä lasketaan reunahomomorfismeista, mutta tässä yleisessä yhteydessä niitä ei ilmaista suoraan vaan em. kuvauksella.

  1. Homotopia-aksiooma: Keskenään homotopiset kuvaukset parilta (A_1, B_1) parille (A_2, B_2) indusoivat samat homomorfismit homologiarymiltä H_n(A_1,B_1) homologiarymille H_n(A_2,B_2).
  2. Poistoaksiooma: Jos U on parin (X, A) X:n osajoukko s.e. U:n sulkeuma on A:n sisäpisteistön osajoukko, inkluusiokuvaus i : (X-U, A-U) \to (X, A) indusoi isomorfismin homologiaryhmien H_n(X-U, A-U) ja H_n(X, A) välille (eli rymät ovat rakenteeltaan tarkalleen samanlaisia).
  3. Dimensioaksiooma: Jos P on yhden pisteen avaruus, H_n(P) = 0 pätee kaikille n \neq 0.
  4. Additiivisuusaksiooma: Jos X = \vee_{\alpha}{X_{\alpha}} pätee, tällöin pätee myös H_n(X) \cong \bigoplus_{\alpha} H_n(X_{\alpha}).
  5. Eksaktisuusaksiooma: Jokainen pari (X, A) indusoi pitkän homologiajonon inkluusiokuvauksille i: A \to X ja j: X \to (X, A):
 \cdots \to H_n(A) \to^{\!\!\!\!\!\! i_*} H_n(X) \to^{\!\!\!\!\!\! j_*} H_n (X,A) \to^{\!\!\!\!\!\!\partial_*} H_{n-1}(A) \to \cdots.