Egorovin lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Egorovin lause antaa ehdon mitallisten funktioiden jonon tasaiselle suppenemiselle.

Olkoon (fn) jono reaaliarvoisia mitallisia funktioita mitta-avaruudessa (X,Σ,μ) siten, että fn suppenee μ-melkein kaikkialla äärellismittaisessa joukossa A kohti rajafunktiota f. Tällöin kaikilla ε > 0 on olemassa A:n osajoukko B jolle μ(B) < ε ja (fn) suppenee tasaisesti kohti f:ää joukossa AB. Tässä μ(B) tarkoittaa B:n (μ-)mittaa.

Toisin sanoin pisteittäinen suppeneminen A:n melkein jokaisessa pisteessä antaa funktiolle f A:ssa paljon vahvemman tasaisen suppenemisen jossain A:ta mielivaltaisen vähän pienemmässä A:n osajoukossa. Lause voidaan todistaa suoraan käyttämällä tasaisen suppenemisen määritelmää ja μ:n subadditiivisuutta. Lauseen antamaa suppenemista kutsutaan melkein tasaiseksi suppenemiseksi'. Huomaa, että oletus μ(A) < ∞ on välttämätön Egorovin lauseessa. Tarkastellaan Lebesguen mitan suhteen indikaattorifunktiota

f_n(x) = 1_{[n,n+1]}(x),

joka on määritelty kaikilla reaaliluvuilla R. Tämä jono suppenee pisteittäin kohti nollafunktiota kaikkialla, mutta ei suppene tasaisesti missään joukossa RB, missä B on mikä tahansa äärellismittainen joukko.

Egorovin lausetta voidaan soveltaa kompaktikantajaiseen jatkuvaan funktioon, jolloin saadaan todistettua Lusinin lause.

Lause on nimettu Dmitri Egorovin, venäläisen fyysikon ja geometrikon, mukaan.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]