Disjunktio

Lausetta $\scriptstyle A\lor B$ vastaava Venn-diagrammi

Lausetta $\scriptstyle A\lor B\lor C$ vastaava Venn-diagrammi

Disjunktio on propositiologiikassa kaksipaikkainen looginen konnektiivi, joka vastaa yleiskielen sanaa tai. Sillä muodostettu yhdistetty lause on tosi, jos ainakin yksi sen yhdistämistä lauseista on tosi, muussa tapauksessa epätosi. Lauseiden A ja B disjunktiolle käytetään merkintää $A\lor B$.

Näin määritellystä disjunktiosta käytetään myös nimitystä inklusiivinen tai eli inklusiivinen disjunktio erotukseksi eksklusiivisesta disjunktiosta ("joko A tai B, mutta ei molemmat"), joka on tosi vain silloin, jos vain toinen sen yhdistämistä lauseista on tosi. Koska sanaa tai käytetään tavallisessa kielessä eri yhteyksissä kummassakin merkityksessä, inklusiivista disjunktiota tarkoitettaessa käytetään mahdollisen väärin­käsityksen välttämiseksi nykyisin joskus ilmaisua ja/tai.

Disjunktioon läheisesti liittyviä käsitteitä muissa yhteyksissä ovat:

• joukko-opissa unioni eli yhdiste
• predikaattilogiikassa eksistenssikvanttori eli olemassaolokvanttori
• elektroniikassa disjunktiota vastaa OR-portti.

Merkinnät

Loogiselle disjunktiolle käytetään kirjallisuudessa useita eri symboleja. Sanan "tai" (engl. or) ohella sille käytetään yleisesti symbolia "$\lor$", joka on muodostettu latinan sanan vel ("tai") alkukirjaimesta. Esi­merkiksi "A $\lor$ B " luetaan "A tai B". Tällainen disjunktio on epä­tosi vain jos sekä A että B ovat epä­tosia lauseita, muussa tapauksessa se on tosi.

Kaikki seuraavat ovat disjunktiota:

$A\lor B$

$\neg A\lor B$

$A\lor \neg B\lor \neg C\lor D\lor \neg E.$

Boolen algebrassa disjunktiolle käytetään merkintää $A+B$. Jan Lukasiewiczin prefiksinotaatiossa disjunktion merkkinä käytetään A-kirjainta, joka on lyhenne puolan kielen sanasta alternatywa. Tällöin lauseiden p ja q disjunktio merkitään Apq.

Eri ohjelmointikielissä disjunktiota vastaava operaattori merkitään tavallisimmin joko sanalla or tai kahdella pystyviivalla (||).

Totuustaulu

Vasemmalla olevien argumenttien disjunktiot: arvon epätosi saavat bitit muodostavat Sierpinskin kolmion.

Operaation $~A\lor B$ totuustaulu on seuraava:

LAUSEET		DISJUNKTIO
$A$	$B$	$A\lor B$
tosi	tosi	tosi
tosi	epätosi	tosi
epätosi	tosi	tosi
epätosi	epätosi	epätosi

Ominaisuudet

Looginen disjunktio noudattaa lasku­lakeja, jotka pitkälti ovat analogisia esi­merkiksi reaalilukujen lasku­säännöille. Se on vaihdannainen ja liitännäinen, ja sille pätee myös osittelulaki, kun toisena lasku­toimituksena on looginen konjunktio. Disjunktio on lisäksi idem­potentti eli minkä tahansa lauseen disjunktiolla itsensä kanssa on sama totuus­arvo kuin alku­peräisellä lauseella. Tätä havainnollistavat seuraavat kaaviot:

• Vaihdannaisuus

$A\lor B$	$\Leftrightarrow$	$B\lor A$
	$\Leftrightarrow$

• Liitännäisyys

$~A$	$~~~\lor ~~~$	$(B\lor C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\lor B)$	$~~~\lor ~~~$	$~C$
	$~~~\lor ~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\lor ~~~$

• Osittelulaki loogisen konjunktion suhteen

$~A$	$\lor$	$(B\land C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\lor B)$	$\land$	$(A\lor C)$
	$\lor$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\land$

muita

liitännäisyys loogisen ekvivalenssin suhteen: $~A$ $\lor$ $(B\leftrightarrow C)$     $\Leftrightarrow$     $(A\lor B)$ $\leftrightarrow$ $(A\lor C)$ $\lor$     $\Leftrightarrow$         $\Leftrightarrow$     $\leftrightarrow$ liitännäisyys loogisen implikaation suhteen: $~A$ $\lor$ $(B\rightarrow C)$     $\Leftrightarrow$     $(A\lor B)$ $\rightarrow$ $(A\lor C)$ $\lor$     $\Leftrightarrow$         $\Leftrightarrow$     $\rightarrow$ liitännäisyys itsensä kanssa: $~A$ $\lor$ $(B\lor C)$     $\Leftrightarrow$     $(A\lor B)$ $\lor$ $(A\lor C)$ $\lor$     $\Leftrightarrow$         $\Leftrightarrow$     $\lor$

• Idempotenssi

$~A~$	$~\lor ~$	$~A~$	$\Leftrightarrow$	$A~$
	$~\lor ~$		$\Leftrightarrow$

• Monotonisuus

$A\rightarrow B$	$\Rightarrow$			$(A\lor C)$	$\rightarrow$	$(B\lor C)$
	$\Rightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\rightarrow$

• Totuuden säilyttävä validiteetti

Kun kaikki disjunktiolla yhdistettävät lauseet ovat tosia, disjunktio on tosi.

$A\land B$	$\Rightarrow$	$A\lor B$
	$\Rightarrow$
		(kokeiltava)

• Epätotuuden säilyttävä validiteetti

Kun kaikki disjunktiolla yhdistettävät lauseet ovat epätosia, disjunktio on epätosi.

$A\lor B$	$\Rightarrow$	$A\lor B$
	$\Rightarrow$

• Walshin spektri: (3,-1,-1,-1)

• Epälineaarisuus: 1 (funktio on taivutettu)

Jos totuusarvoille käytetään binäärilukumerkintöjä tosi (1) ja epätosi (0), looginen disjunktio toimii lähes samoin kuin binäärinen yhteen­lasku. Erona on vain se, että $1\lor 1=1$, kun taas binääri­järjestelmässä $1+1=10$.

Sovellukset tietotekniikassa

OR-portti

Useimmissa ohjelmointikielissä on disjunktiota vastaava operaattori. Se merkitään monissa ohjelmointikielissä varatulla sanalla or, mutta esimerkiksi C:ssä ja siihen pohjautuvissa ohjelmointikielissä kahdella pystyviivalla (||).

Looginen disjunktio suoritetaan yleensä minimaalisella evaluaatiolla. Tämä merkitsee, että jos sen ensimmäinen (vasemmanpuoleinen) operandi on arvoltaan tosi, ohjelma ei edes tarkista, mikä sen jälkimmäisen operandin arvo on.

Useimmissa ohjelmointi­kielissä looginen disjunktio antaa tulokseksi aina boolean-tyyppisen muuttujan, jolla on vain kaksi mahdollista arvoa: tosi (1) tai epätosi (0). Monissa vahvasti tyypitetyissä kielissä disjunktio voidaan sitä paitsi suorittaa vain, jos molemmat sillä yhdistettävät operanditkin ovat boolean-tyyppisiä. Joissakin heikosti tyypitetyissä kielissä, esimerkiksi C:ssä, disjunktio voidaan kuitenkin suorittaa silloinkin, kun operandit ovat esimerkiksi kokonais- tai reaaliluku­tyyppisiä; tällöin tuloksena on 0 (epätosi) vain, jos molemmat operandit ovat nollia, mulloin tuloksena on 1 (tosi). Tällöin siis operandien kaikkien muiden arvon kuin nollan katsotaan vastaavan totuus­arvoa tosi.

Muutamissa ohjelmointikielissä kuten Pythonissa ja JavaScriptissä disjunktio-operaattori voi kuitenkin palauttaa muitakin arvoja kuin 1 tai 0. Tällöin se saa arvokseen operaattorin ensimmäisen operandin arvon, jos se on "tosi" eli ei ole nolla, muussa tapauksessa jälkimmäisen operandin arvon.

Disjunktiota vastaava looginen portti on OR-portti.

Biteittäinen operaatio

Joissakin ohjelmointikielissä on määritelty myös biteittäinen disjunktio'. Tällöin operandit, jotka voivat olla esimerkiksi binäärisiä kokonaislukuja, käydään läpi bitti bitiltä ja suoritetaan disjunktio-operaatiot kummankin operandin vastaavien bittien välillä. Tuloksena saadaan muuttuja, jossa kunkin bitin arvo riippuu operandien bittien arvoista seuraavasti:

• 0 or 0 = 0
• 0 or 1 = 1
• 1 or 0 = 1
• 1 or 1 = 1

Käymällä bitit läpi esimerkiksi binääriluvuista 11001010 ja 10100011 saadaan tulokseksi 11101011.

Biteittäinen disjunktio on käytettävissä muun muassa C-kielessä, jossa se merkitään yhdellä pystyviivalla (|).

Biteittäisellä disjunktiolla voidaan muun muassa asettaa halutulle bitille arvo 1 muiden bittien pysyessä ennallaan. Esimerkiksi lauseella x = x | 0b00000001 saadaan muuttujan x viimeinen bitti ykköseksi.

Unioni

Disjunktiota vastaava operaatio joukko-opissa on unioni. Kahden joukon unioni määritelläänkin disjunktion avulla: $a\in A\cup B$, jos ja vain jos $a\in A\lor a\in B$. Toisin sanoen alkio a kuuluu joukkojen A ja B unioniin, jos ja vain jos se kuuluu näistä joukoista ainakin toiseen. Tämän vuoksi joukko-opillinen unioni noudattaa pitkälti samoja sääntöjä kuin disjunktiokin: sillekin pätevät vaihdanta-, liitäntä-, osittelu- ja de Morganin lait.

Luonnolliset kielet

Matemaattisessa logiikassa määritellyt käsitteet ovat merkitykseltään erilaisia kuin luonnollisen kielen sanat yleensä ovat. Suomen kielessä disjunktiota vastaa lähinnä sana tai, jota käytetään kuitenkin ainakin kahdessa toisistaan poikkeavassa merkityksessä, kuten sen vastineita useissa muissakin kielissä. Jos joku esimerkiksi pyytää: "Soita minulle tai lähetä sähköpostia", tällöin tarkoitetaan toden­näköisesti: "tee toinen, mutta älä molempia." Jos taas josta­kusta sanotaan: "Kun hän sai niin korkea arvo­sanat, hän selvästikin on hyvin lahjakas tai opiskelee ahkerasti"; tällöin ei suljeta pois sitä mahdollista, että molemmat vaihto­ehdot ovat tosia. Toisin sanoen sana "tai" voi tarkoittaa sekä inklu­siivista että eksklu­siivista disjunktiota. Silloin kun kyseessä on inklu­siivinen disjunktio, käytetään nykyisin toisinaan asian selventämiseksi ilmaisua "ja/tai".

Katso myös

• Konjunktio (logiikka)
• OR-portti
• Propositiologiikka
• Boolen algebra

Aiheesta muualla

• Disjunction MathWorld. Viitattu 9.4.2015.