Choleskyn hajotelma

Choleskyn hajotelma on matriisihajotelma, joka määritellään seuraavasti: Olkoon $A$ mikähyvänsä symmetrinen positiivisesti definiitti $n\times n$-matriisi. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen yläkolmiomatriisi $U$, jossa on positiivisia alkioita diagonaalilla siten, että $A=L^{T}L$, missä $L^{T}$ on matriisin $L$ transpoosi. Toinen tapa esittää asia on valita yksikäsitteinen yläkolmiomatriisi $U$ ja diagonaalimatriisi $D=d_{i}$, jolloin Choleskyn hajotelma voidaan kirjoittaa muotoon $A=U^{T}DU$. Tällöin siis $L=D^{\frac {1}{2}}U$.

Esimerkki Choleskyn hajotelmasta symmetrisillä reaaliarvoisilla matriiseilla (tyhjät kohdat ovat nollia):

${\begin{aligned}\left({\begin{array}{*{3}{r}}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\\\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{*{3}{r}}2&&\\6&1&\\-8&5&3\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{*{3}{r}}2&6&-8\\&1&5\\&&3\\\end{array}}\right)\end{aligned}}$

ja sama muodossa $U^{T}DU$:

${\begin{aligned}\left({\begin{array}{*{3}{r}}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\\\end{array}}\right)&=\left({\begin{array}{*{3}{r}}1&&\\3&1&\\-4&5&1\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{*{3}{r}}4&&\\&1&\\&&9\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{*{3}{r}}1&3&-4\\&1&5\\&&1\\\end{array}}\right)\end{aligned}}$