Cesàron yhteenlasku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Cesàron yhteenlasku määrittelee jatkuvien sarjojen yhteenlaskua. Se tunnetaan myös nimellä Cesàron summakaava.

Cesàron yhteenlasku on nimetty italialaisen analyytikon Ernesto Cesàron mukaan (1859–1906).

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon {an} sarja ja olkoon

s_k = a_1 + \cdots + a_k,

sarjan

\sum_{n=1}^\infty a_n. k:s osasumma.

Sarjaa {an} kutsutaan Cesàro-summautuvaksi, jos Cesàron summa A \in \R, jos sen keskiarvo osasummista s_k lähenee A:ta:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k = A.

Toisin sanoen siis äärettömän sarjan Cesàro-summa on sarjan ensimmäisten osasummien 1, ..., n aritmeettisen keskiarvon raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon an = (−1)n+1, kun n ≥ 1. {an} on lukujono

1, -1, 1, -1, \ldots.\,

Merkitään sarjaa  \sum_{n=1}^\infty a_n =1-1+1-1+1-\cdots G:llä.

Näin ollen lukujonon osasumma {sn}   = \sum_{k=1}^n a_k  on

1, 0, 1, 0, \ldots,\,

Nähdään, että sarja G, (joka tunnetaan myös Grandin sarjana), ei suppene.

Toisaalta sarjan {sn} keskiarvojen muodostaman sarjan {tn}

Toisaalta sarjan {sn} keskisarjan {tn} termit

 t_n = {\sum_{k=1}^n s_k \over n} termejä ovat
\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

joten

\lim_{n\to\infty} t_n = 1/2.

Tällöin Cesàron summa sarjalle G on 1/2.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Englanninkielinen Wikipedia