Cayleyn lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Cayleyn lause on ryhmäteorian perustulos. Se sanoo, että jokainen ryhmä G on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän SG aliryhmän kanssa. Erityisesti jos G on kertalukua n oleva äärellinen ryhmä, niin se on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän Sn aliryhmän kanssa. Cayleyn lause on eräs sovellus ryhmän G toiminnasta itselleen. Lause on nimetty matemaatikko Arthur Cayleyn mukaan.

Cayleyn lause on merkittävä, koska sen perusteella konstruktioiltaan hyvinkin erilaiset ryhmät ovat pohjimmiltaan vain permutaatioiden muodostamia ryhmiä. Ennen Cayleytä matemaatikot eivät käyttäneet ryhmän modernia määritelmää, vaan varhainen ryhmäteoria oli yksinomaa permutaatioiden ominaisuuksien tutkimista. Cayley määritteli ryhmän ensimmäisenä modernilla tavalla binäärisen operaation avulla ja osoitti, että tämä määritelmä johtaa pohjimmiltaan saman rakenteen tutkimiseen kuin permutaatioryhmien tapauksessa. Tämän lähestymistavan etu on, että se abstraktimpana soveltuu useampiin tilanteisiin.

Lisäksi Cayleyn lause osoittaa, että isomorfian suhteen on olemassa vain äärellinen määrä tiettyä kertalukua olevia ryhmiä. Täten on olemassa vain äärellinen määrä kertalukua n olevia rakenteeltaan "merkittävästi" eroavia ryhmiä.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todistuksen ideana on muodostaa jokaista ryhmän alkiota kohti sellainen yksikäsitteinen joukon G permutaatio, että ryhmän rakenne säilyy siirryttäessä tarkastelemaan näiden permutaatioiden muodostamaa ryhmää. Olkoon g ryhmän (G, *) \ mielivaltainen alkio. Asetetaan funktio

f_g : G \rightarrow G, f_g(x)=g*x \ .

Koska

g*x = g*y \Leftrightarrow x=y \ ja f(g^{-1}x) = g* (g^{-1} * x) = x \

kaikilla x,y \in G, niin kuvaus f_g \ on bijektio ja siten joukon G \ permutaatio. Siis f_g \in S_G \ ja lisäksi nämä kuvaukset muodostavat ryhmän (G, *) \ toiminnan itselleen. Mikäli ryhmä (G, *) \ on äärellinen ja sen alkiot ovat 1, g_2, g_3, \ldots, g_{n-1} \ , niin syklimuodossa permutaation esitys on


f_g = \begin{pmatrix} 1 & g_2 & g_3 & \ldots & g_{n-1} \\ g & gg_2 & gg_3 & \ldots & gg_{n-1} \end{pmatrix} . \

Asetetaan funktio

f : G \rightarrow S_G, f(g)=f_g . \

Kyseessä on homomorfismi, sillä

(f_g \circ f_h)(x) = f_g (f_h(x)) = f_g (h*x) =g*(h*x) = (g*h)*x = f_{g*h}(x) \

kaikilla g,h,x \in G \ . Lisäksi \mathop{\mathrm{ker}}(f) = \{ 1 \} \ , joten homomorfismien peruslauseen nojalla

G \cong G / \mathop{\mathrm{ker}}(f) \cong \mathop{\mathrm{im}}(f) \leq S_G , \

mikä todistaakin lauseen väitteen.

Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että joukko

 K = \{ f_g \in S_G \ | \ g \in G \} \

on ryhmän S_G \ aliryhmä ja \mathop{\mathrm{im}}(f) = K \ . Koska f_g = f_h \ jos ja vain jos  g=h \ kaikilla g,h \in G \ , niin kuvaus f \ on injektio. Tällöin sen rajoittuma joukkoon K \ on bijektio, ja lause on täten todistettu.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.