Catalanin vakio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Catalanin vakio G määritellään matematiikassa

G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots,

jossa \beta on Dirichlet'n betafunktio.

Sen likiarvo on

G \approx 0{,}915 965 594 177 219 015 054 603 514 932. [1]

Ei tiedetä, onko Catalanin vakio rationaalinen vai irrationaalinen.

Catalanin vakio on nimetty belgialaisen matemaatikon Eugène Charles Catalanin mukaan.

Integraaleja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \!
G = -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \!
G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \;dt  \!
G = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \;dt \!
G = \int_0^{\pi/4} \ln ( \cot(t) ) \,dt \!
 G = \tfrac12 \int_0^{\infty} \frac{t}{\cosh t}\,dt \;
G = \int_0^\infty \arctan (e^{-t}) \,dt \!
 G = \int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt. \!
 G = \frac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{K}(t)\,dt \!

missä K(t) on täydellinen elliptinen integraali.

Äärettömiä sarjoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

G = \frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty (n+1) \frac{3^n-1}{4^n} \zeta(n+2)\ .


G = \frac{1}{64} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{8n}\cdot (40 n^2 - 24 n + 3) \cdot (2n)!^3 \cdot n!^2}{n^3 \cdot (2n-1) \cdot (4n)!^2}\ .



\begin{align}
G & =
3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac{1}{2(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\frac{1}{2(8n+1)^2}
\right) \\
& {}\quad -2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\frac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)
\end{align}


G = \tfrac18\pi \log(2 + \sqrt{3}) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.