Catalanin otaksuma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Catalanin otaksuma on Eugene Charles Catalanin esittämä otaksuma, jonka mukaan Diofantoksen yhtälön

x^n-y^m=1

ainoa positiivinen kokonaislukuratkaisu on

x=3, y=2, n=2 ja m=3, kun n,m>1 ja x,y\ne 0.

Catalanin otaksuman todisti vuonna 2002 Preda Mihăilescu syklotomisten kuntien ja Galois'n modulien teorian avulla.

Todistushahmotelma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mihăilescun todistus perustuu viiteen päälauseeseen[1]: Olkoot p ja q parittomia alkulukuja ja x,y nollasta poikkeavia kokonaislukuja.

Lause 1: On voimassa p^{q-1}\equiv 1\pmod{q^2} ja q^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}.

Lause 2: On voimassa p\equiv 1\pmod{q} tai q\equiv 1\pmod{p}.

Lause 3: On voimassa p< 4q^2 ja q<4p^2.

Päälause: Yhtälön x^p-y^q=1 ne kokonaislukuratkaisut, joille p,q\geq 2 ja x,y\ne 0 ovat p=2,q=3,x=\pm 3,y=2.

Lause 4: Olkoot p ja q parittomia alkulukuja. Oletetaan, että p\leq 41 tai q\leq 41. Tällöin yhtälöllä x^p-y^q=1 ei ole nollasta poikkeavia ratkaisuja, kun x,y\in \mathbb{Z}.

Näiden lauseiden todistukset perustuvat pääosin Rungen menetelmään ja syklotomisiin kuntiin.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. René Schoof: Catalan's conjecture
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.