Begriffsschrift

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Begriffsschrift, koko nimeltään Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, on Gottlob Fregen vuonna 1879 julkaisema lyhyt logiikan alan teos sekä kirjassa esitetyn formaalin logiikan järjestelmän nimi. Begriffsschrift käännetään yleensä "käsitekirjoitukseksi". Teoksen koko nimi määritteli sen olevan "aritmetiikan mukaan rakennettu puhtaan ajattelun formaalinen kieli".

Begriffsschriftin voi hyvin katsoa olleen logiikan alan merkittävin teos sen jälkeen kun Aristoteles perusti alan. Fregen motivaatio kehittää oma formaalinen lähestymistapansa logiikkaan muistutti Gottfried Leibnizin motivaatiota kehittää omaa calculus ratiocinatoriaan. Frege hyödynsi loogista kalkyyliään tutkiessaan matematiikan perustaa seuranneen neljännesvuosisadan aikana.

Sisältö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkintätapa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Fregen käyttämä propositiokalkyylin notaatio:
a) konditionaali
b) negaatio
c) konjunktio
d) disjunktio

Fregen järjestelmä vastaa nykyaikaista toisen kertaluvun logiikkaa, ja se esitteli kvantifioidut muuttujat ja kvanttorit logiikkaan ensimmäisen kerran. Fregen käyttämä notaatio poikkesi kuitenkin nykyisestä huomattavasti: hän käytti hyvin idiosynkraattista kaksiulotteista merkintätapaa, jossa konnektiivit ja kvanttorit on piirretty kaavoja yhdistävillä viivoilla, kun nykyään ne merkitään puolestaan sellaisilla symboleilla kuin ¬, ∧, ∨, ∃ ja ∀. Esimerkiksi implikaatio "B implikoi A:n" eli B \rightarrow A merkittiin Fregen notaatiossa Kondicionaliskis wb.png.

Ensimmäisessä luvussa Frege määritteli perusajatukset ja merkintätavat, kuten väittämä, universaalikvanttori, konditionaali, negaatio ja "merkki sisällön identiteettisyydelle" eli ekvivalenssi \equiv.

Esimerkiksi konditionaalin Frege määritteli seuraavasti (luku I, §5):

"Viitatkoon A ja B tunnettuun sisältöön, tällöin neljä mahdollisuutta ovat:
(1) A on väitetty, B on väitetty;
(2) A on väitetty, B on kielletty;
(3) A on kielletty, B on väitetty;
(4) A on kielletty, B on kielletty.
Merkitköön
├────┬── A
     │
     └── B
sitä, ettei kolmas näistä vaihtoehdoista vallitse, mutta yksi kolmesta muusta vallitsee. Joten jos negatoimme Kondicionaliskis wb.png:n, silloin kolmas vaihtoehdoista on pätevä, eli kiellämme A:n ja väitämme B."

Kalkyyli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisessa luvussa Frege määritteli yhdeksän väittämistään, väittämät 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 ja 58, aksioomiksi, sanomalla niiden — sellaisina kuin ne on tarkoitettu ymmärrettäviksi — ilmaisevan totuuksia. Nykyaikaisella merkintätavalla ilmaistuna hänen aksioomansa olivat:

  1.  \vdash \ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow A \right)
  2.  \vdash \ \ \left[ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ \left( A \rightarrow B \right) \rightarrow \left( A \rightarrow C \right) \ \right]
  3.  \vdash \ \ \left[ \ D \rightarrow \left( B \rightarrow A \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ B \rightarrow \left( D \rightarrow A \right) \ \right]
  4.  \vdash \ \ \left( B \rightarrow A \right) \ \rightarrow \ \left( \lnot A \rightarrow \lnot B \right)
  5.  \vdash \ \ \lnot \lnot A \rightarrow A
  6.  \vdash \ \ A \rightarrow \lnot \lnot A
  7.  \vdash \ \ \left( c=d \right) \rightarrow \left( f(c) = f(d) \right)
  8.  \vdash \ \ c = c
  9.  \vdash \ \ \left( \ \forall a : f(a) \ \right) \ \rightarrow \ f(c)

Aksioomat (1)-(3) määrittävät implikaation. (4)-(6) määrittävät negaation. (7) ja (8) määrittävät identiteetin; (7) on Leibnizin laki; (8) sanoo, että identiteetti on refleksiivinen. (9) määrittää universaalikvanttorin. Kaikki muut väittämät todistettiin dedusoimalla näistä aksioomista.

Begriffschrifft käytti kolmea päättelysääntöä. Kaksi niistä, modus ponens ja yleistyssääntö, ovat eksplisiittisiä, kun taas korvaussääntöä ei ole määritelty eksplisiittisesti. Modus ponensin avulla voidaan johtaa \vdash B lauseista \vdash A \to B ja \vdash A. Yleistyssäännön avulla voidaan johtaa \vdash P \rightarrow \forall x : A(x) lauseesta \vdash P \to A(x), jos muuttuja 'x' ei esiinny 'P':ssä. Korvaussääntö on paljon monimutkaisempi, ja Frege käyttää sitä tavoilla, joiden pätevyys ei ole ilmiselvää.

Kolmas luku käsittelee sarjateoriaa. Sen tulokset ovat selvästi tarkoitettuja käytettäväksi Fregen myöhemmässä aritmetiikan perusteiden tutkimustyössä.

Vaikutus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Begriffsschriftissä esitetty toisen kertaluvun logiikan muotoilu oli ensimmäinen muotoilu mistään logiikasta, joka pystyi käsittelemään merkityksellistä osaa matematiikasta tai inhimillisestä kielestä. Kaikki myöhempi työ formaalin logiikan alalla on enemmän tai vähemmän velkaa teokselle.

Pieni jäänne Fregen notaatiosta on säilynyt todistuksissa käytetyssä symbolissa \vdash, joka on johdettu Fregen symboleista "Inhaltsstrich" ── ja "Urteilsstrich" │. Frege käytti niitä teoksessaan yhdistetyssä muodossa ├─ esittämään, että väittämä on tautologisesti tosi. Hän käytti merkintää "Definitionsdoppelstrich" │├─ esittämään, että väittämä on määritelmä.

Ludwig Wittgenstein kunnioitti Fregeä teoksessaan Tractatus logico-philosophicus käyttämällä termiä Begriffsschrift synonyyminä loogiselle formalismille.

Kirjallisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Boolos, George (1985): "Reading the Begriffsschrift", Mind 94: 331-44.
  • Grattan-Guinness, Ivor (2000): In Search of Mathematical Roots. Princeton University Press.
  • Vilkko, Risto (1998): "The reception of Frege's Begriffsschrift", Historia Mathematica 25(4): 412-22.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]