Bealin konjektuuri

Bealin konjektuuri on lukuteorian otaksuma, jonka on esittänyt teksasilainen miljardööri ja matematiikan harrastaja Andrew Beal.

Tutkiessaan vuonna 1993 Fermat'n suuren lauseen yleistyksiä Andrew Beal muotoili seuraavan väitteen:

Jos

$\left.A^{x}+B^{y}=C^{z}\right.$,

jossa $A$, $B$, $C$, $x$, $y$ ja $z$ ovat positiivisia kokonaislukuja, siten että $x$, $y$, $z$$>2$, niin $A$:lla, $B$:llä ja $C$:llä täytyy olla yhteinen alkulukutekijä.

Esimerkiksi ratkaisussa 3³ + 6³ = 3⁵ kantaluvuilla on yhteinen tekijä 3 ja ratkaisussa 7⁶ + 7⁷ = 98³ kantalukujen yhteinen tekijä on 7. Käytännössä on olemassa äärettömän monta ratkaisua siten, että kantaluvuilla on yhteinen tekijä. Esimerkiksi yhtälö

$\left[a\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}+\left[b\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}=\left(a^{m}+b^{m}\right)^{m+1}$

tuottaa ratkaisun kaikilla $a$, $b$, $m>3$. Tämä ei kuitenkaan ole vastaesimerkki, koska kantaluvuilla on yhteisenä tekijänä $a^{m}+b^{m}$.

Vuoden 2006 joulukuuhun mennessä väitteelle ei ole löydetty yhtään tunnettua vastaesimerkkiä. Tämän etsimiseksi on käyty läpi ainakin 1000 eri muuttujaa.

Fermat’n suuri lause on Bealin konjektuurin erikoistapaus, jossa $x=y=z$. Jos $a^{x}+b^{x}=c^{x}$ kun $x\geq 3$, niin joko kantaluvut ovat keskenään jaottomia tai niillä on yhteinen tekijä. Jos niillä on yhteinen tekijä, kantaluku voidaan jakaa tuottaen yhtälö, jolla on pienempiä keskenään jaottomia kantalukuja. Fermat'n suuren lauseen vastaesimerkki tuottaisi joka tapauksessa vastaesimerkin Bealin konjektuurille.

Bealin konjektuuri voidaan havainnollistaa geometrisesti ajattelemalla potenssiluvut tasokuvioiksi. Kaikkien kokonaislukujen kaikki parilliset potenssit (n=2,4,6,8 jne) ovat aina neliöitä ja kaikki parittomat potenssit (n=3,5,7,9 jne.) ovat aina neliöjonoja. Kuvioiden sivut ovat samojen kantalukujen alempia potensseja. Neliöissä sivut edustavat saman kantaluvun samaa ko. potenssia. Neliöjonoissa sivut edustavat saman kantaluvun perättäisiä potensseja. Eri kokonaislukujen eri potensseja edustavat neliöt ja neliöjonot voivat olla yhteismitallisia vain, jos kuvioiden sivujen kantaluvuilla on yhteinen alkulukutekijä.

Konjektuuri ei ole pätevä suuremmassa Gaussin lukujen joukossa. Vastaesimerkistä luvattua 50 Yhdysvaltain dollarin palkintoa vastaan Fred W. Helenius esitti, että (−2 + i)³ + (−2 − i)³ = (1 + i)⁴.

Beal on tarjonnut 1 000 000 Yhdysvaltain dollarin palkkion konjektuurin todistamisesta tai kumoamisesta.

Aiheesta muualla

• http://www.bealconjecture.com/
• http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html
• http://www.ams.org/notices/199711/beal.pdf
• A search for counterexamples - http://www.norvig.com/beal.html
• http://planetmath.org/encyclopedia/BealsConjecture.html (Arkistoitu – Internet Archive)