Bézout'n identiteetti

Bézout'n identiteetti eli Bézout'n lemma on ranskalaisen matemaatikon Étienne Bézoutin (1730 - 1783) mukaan nimetty lukuteorian lause, jonka mukaan kokonaislukujen $a$ ja $b$ suurin yhteinen tekijä (syt) voidaan esittää muodossa $ax + by$, missä $x$ ja $y$ ovat kokonaislukuja. Luvut $x$ ja $y$ (joita kutsutaan myös Bézout'n luvuiksi) voidaan voidaan selvittää esimerkiksi Eukleideen algoritmilla.

Esimerkki

Lasketaan lukujen 33 ja 21 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla:

$\begin{align} 33 &= 21\cdot 1 + 12 \\ 21 &= 12\cdot 1 + 9 \\ 12 &= 9\cdot 1 + 3\\ 9 &= 3\cdot 3 + 0\\ \end{align}$

Kolme on suurin yhteinen tekijä, koska se oli jakajana viimeisessä jakolaskussa. Kun suurin yhteinen tekijä halutaan esittää Bézout'n identiteetin mukaisessa muodossa $3=33x+21y$, lähdetään sijoittamalle Eukleideen algoritmin tuloksesta (yhtälöt alhaalta ylöspäin)

$3=12-9=12-(21-12)=2\cdot12-21=2\cdot (33-21)-21=2\cdot 33-3\cdot 21$.

Eli $\mathrm{syt}(33,21)=3=33\cdot 2 + 21 \cdot (-3).$ On huomionarvoista, että esitys ei ole uniikki; jos luvut $x$ ja $y$ ovat Bézout'n lukuja, myös luvut:

$\left\{ \left(x+\frac{kb}{\mathrm{syt}(a,b)},\ y-\frac{ka}{\mathrm{syt}(a,b)}\right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$

ovat Bézout'n lukuja.

Katso myös

• Diofantoksen yhtälö