Bézout'n identiteetti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Bézout'n identiteetti eli Bézout'n lemma on ranskalaisen matemaatikon Étienne Bézoutin (1730 - 1783) mukaan nimetty lukuteorian lause, jonka mukaan kokonaislukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (syt) voidaan esittää muodossa ax + by, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Luvut x ja y (joita kutsutaan myös Bézout'n luvuiksi) voidaan voidaan selvittää esimerkiksi Eukleideen algoritmilla.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan lukujen 33 ja 21 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla:

\begin{align}
 33 &= 21\cdot 1 + 12 \\
 21 &= 12\cdot 1 + 9 \\
 12 &= 9\cdot 1 + 3\\
 9 &= 3\cdot 3 + 0\\
\end{align}

Kolme on suurin yhteinen tekijä, koska se oli jakajana viimeisessä jakolaskussa. Kun suurin yhteinen tekijä halutaan esittää Bézout'n identiteetin mukaisessa muodossa 3=33x+21y, lähdetään sijoittamalle Eukleideen algoritmin tuloksesta (yhtälöt alhaalta ylöspäin)

3=12-9=12-(21-12)=2\cdot12-21=2\cdot (33-21)-21=2\cdot 33-3\cdot 21.

Eli \mathrm{syt}(33,21)=3=33\cdot 2 + 21 \cdot (-3). On huomionarvoista, että esitys ei ole uniikki; jos luvut x ja y ovat Bézout'n lukuja, myös luvut:

 \left\{ \left(x+\frac{kb}{\mathrm{syt}(a,b)},\ y-\frac{ka}{\mathrm{syt}(a,b)}\right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

ovat Bézout'n lukuja.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.