Autokorrelaatio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Yllä 100 satunnaisluvusta koostuva sarja, johon on piilotettu sinifunktio. Alla autokorrelaatio.

Tilastotieteessä ja signaalinkäsittelyssä autokorrelaatio on matemaattinen työkalu, joka kuvaa aikasarjan havaintojen välistä riippuvuutta havaintojen välisen aikaeron funktiona. Voidaan ajatella, että aikasarjassa esiintyy autokorrelaatiota silloin, kun sarja ei ole täysin satunnainen, vaan uudet havainnot riippuvat jollain tavalla olemassaolevista havainnoista.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Autokorrelaatio määritellään odotusarvona k \in \mathbb{N}:n suhteen

r_x(n) = \operatorname{E}\{x(k)x^*(k-n)\},

missä x(n) on aikasarjan näytteen arvo hetkellä n. Symboli ^* tarkoittaa kompleksikonjugointia ja reaaliarvoiselle aikasarjalle tällä ei siis ole vaikutusta.

Valkoisen kohinan autokorrelaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon v(n) jono normaalijakautunutta kohinaa odotusarvolla \operatorname{E}\{v(n)\} = 0, \forall n, jonka eri ajanhetkiltä peräisin olevat näytteet ovat korreloimattomia. Määritelmän mukaan kaksi satunnaismuuttujaa ovat korreloimattomat, jos niille pätee

\operatorname{E}\{XY\} = \operatorname{E}\{X\}\operatorname{E}\{Y\}.

Korreloimattomuudesta ja kohinan v nolla-keskiarvoisuudesta seuraa, että

r_x(n) = \operatorname{E}\{v(k)v^*(k-n)\} = \begin{cases}
\operatorname{E}\{v(k)v^*(k)\} = \operatorname{Var}\{v\} = \sigma^2 \quad , n = 0 \\
\operatorname{E}\{v(k)\}\operatorname{E}\{v^*(k-n)\} = \operatorname{E}\{v(k)\}\operatorname{E}\{v^*(k-n)\} = 0 \quad , n \neq 0
\end{cases}

Tässä \operatorname{Var} on varianssi-operaattori.

Autokorrelaation estimointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käytännön sovelluksissa tilastollista autokorrelaatiota ei tunneta, vaan se joudutaan estimoimaan havaitusta aineistosta.

Autokorrelaatiomenetelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Autokorrelaatio estimoidaan menetelmällä

\hat{r}_x(k) = \frac{1}{N+1}\sum_{n=k}^N x(n) x^*(n-k), \quad k=0,...,N

Tämä estimaattori on harhainen, mutta asymptoottisesti harhaton.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Monson H. Hayes 1996: Statistical signal processing and modeling, Wiley & sons.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.