Aritmetiikan peruslause

Aritmetiikan peruslause on lukuteorian perustulos. Sen mukaan jokainen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona, esimerkiksi $50=2\cdot 5\cdot 5$, ja kullekin luvulle on olemassa vain yksi tällainen esitys, tekijöiden järjestystä lukuun ottamatta. Tällaista tuloesitystä kutsutaan luvun alkutekijähajotelmaksi.

”Tekijöiden järjestystä lukuun ottamatta” tarkoittaa, että tekijät voidaan kertolaskun vaihdannaisuuden vuoksi vaihtaa eri järjestykseen, mutta näitä pidetään silti samana tuloesityksenä. Esimerkiksi esityksiä $2\cdot 5\cdot 5=5\cdot 2\cdot 5=5\cdot 5\cdot 2$ pidetään samoina, koska niissä on samat alkutekijät yhtä monta kertaa, vaikka eri järjestyksessä. Usein järjestys kiinnitetään niin, että alkuluvut luetellaan pienimmästä suurimpaan: $50=2\cdot 5\cdot 5$. Toistuva tekijä voidaan myös esittää potenssina: $50=2\cdot 5^{2}$.

Aritmetiikan peruslause pätee silloinkin, kun esitettävä luku itse on alkuluku. Tällöin alkutekijähajotelmassa on vain yksi tekijä, esimerkiksi luvun 7 alkutekijähajotelma on 7. Lause voidaan laajentaa myös tapaukseen, jossa esitettävä luku on 1, mikäli sallitaan tyhjä tulo eli tulo, jossa ei ole yhtään tekijää. Tyhjän tulon arvoksi määritellään 1. Tällöin myös luvulla 1 on yksikäsitteinen alkutekijähajotelma, nimittäin tyhjä tulo.

Ykkönen tekijänä

Aritmetiikan peruslauseen muotoilu on yksi syistä, miksi lukua 1 ei nykyään yleensä määritellä alkuluvuksi. Eri aikoina on ykkösen asema vaihdellut: joskus sitä ei ole pidetty lukuna lainkaan, joskus se taas on määritelty yhdeksi alkuluvuista. Nykyinen määritelmä sopii hyvin aritmetiikan peruslauseen muotoiluun. Jos ykkönen otettaisiin mukaan alkulukuihin, eivät alkutekijähajotelmat enää olisi yksikäsitteisiä, sillä tuloon voisi ottaa mukaan mielivaltaisen määrän ykkösiä: esimerkiksi $7=1\cdot 7=1\cdot 1\cdot 7=\ldots$

Todistus

Aritmetiikan peruslauseessa on olennaisesti kaksi väitettä: alkutekijähajotelman olemassaolo ja sen yksikäsitteisyys.

Alkutekijähajotelman olemassaolo

Alkutekijähajotelman olemassaolo voidaan todistaa melko suoraviivaisesti induktiolla. Todetaan aluksi, että luvulla 2 on olemassa alkutekijähajotelma 2. Olkoon sitten $n\geq 3$ ja oletetaan, että kaikille kokonaisluvuille $2,\ldots ,n-1$ on olemassa alkutekijähajotelma. Jos $n$ on alkuluku, niin se on oma alkutekijähajotelmansa. Jos taas $n$ on yhdistetty luku, niin se voidaan hajottaa tuloksi $n=ab$, missä $a$ ja $b$ ovat kokonaislukuja ja $1<a,\;b<n$. Induktio-oletuksen nojalla $a$ ja $b$ voidaan kumpikin esittää alkulukujen tuloina; kertomalla nämä tulot keskenään saadaan $n$ alkulukujen tulona.

Alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys

Hajotelman yksikäsitteisyys voidaan todistaa eri tavoin, riippuen siitä mitä tuloksia oletetaan tunnetuiksi.

Eukleideen lemma sanoo, että jos jokin alkuluku $p$ jakaa kahden luvun tulon $ab$, niin se jakaa ainakin toisen sen tekijöistä. Induktiolla tästä seuraa, että jos alkuluku $p$ jakaa jonkin tulon $abc\ldots$, niin $p$ jakaa jonkin tekijöistä $a,b,c,\ldots$

Aritmetiikan peruslause seuraa Eukleideen lemmasta melko yksinkertaisesti. Olkoon luvulla $n$ kaksi alkutekijähajotelmaa

$n=pqr\ldots =p'q'r'\ldots$

Koska $p$ jakaa tulon $p'q'r'\ldots$, niin $p$ jakaa jonkin tekijöistä $p',q',r',\ldots$, ja koska ne ovat alkulukuja, niin $p$ on eräs niistä. Molemmat alkutekijähajotelmat voidaan nyt supistaa $p$:llä. Jatkamalla samaan tapaan nähdään, että alkutekijähajotelmat ovatkin samat.

Vaihtoehtoisesti aritmetiikan peruslause voidaan todistaa myös suoraan jaollisuuden perusominaisuuksista, käyttämättä Eukleideen lemmaa, Eukleideen algoritmia tai vastaavia aputuloksia. Ernst Zermelo kehitti tällaisen suoraviivaisen todistuksen vuonna 1912.

Historia

Gauss todisti alkutekijöihin jaon yksikäsitteisyyden 1801 julkaistussa teoksessaan.

Kokonaislukujen jakaminen alkutekijöihin oli tuttua jo antiikin kreikkalaisille. Eukleideen Alkeissa on useita tähän liittyviä tuloksia, mutta ei kuitenkaan aritmetiikan peruslausetta sen nykyisessä muodossa.

Persialainen matemaatikko Kamal al-Din al-Farisi (k. noin 1320) esitti lauseen olemassaolopuolen yleisessä muodossa.

Carl Friedrich Gauss huomautti vuonna 1801 teoksessaan Disquisitiones arithmeticae, että alkutekijähajotelman olemassaolo on kyllä ilmeistä, mutta sen yksikäsitteisyys yleensä vain oletetaan ilman kunnollista todistusta. Gauss esitti ja todisti ilmeisesti ensimmäistä kertaa aritmetiikan peruslauseen jokseenkin nykymuodossaan, siis myös hajotelman yksikäsitteisyyden.

Theorema. Numerus compositus quicunque unico tantum modo in factores primos resolvi potest.

Yleistyksiä

Aritmetiikan peruslauseen kaltainen tulos pätee myös joissakin muissa lukujoukoissa, mutta ei kaikissa. Kokonaisaluetta, jossa jokaisella alkiolla on (järjestystä ja yksiköitä vaille) yksikäsitteinen jako alkualkioiden tuloksi, kutsutaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon alueeksi (engl. unique factorization domain, UFD).

Gaussin luvuiksi kutsutaan lukujoukkoa $\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \}$ eli kompleksilukuja, joiden reaali- ja imaginaariosat ovat kokonaisia. Gaussin lukujen joukossa voidaan määritellä alkulukua vastaava käsite, joskin esimerkiksi 5 ei nyt ole alkuluku, sillä $5=(1+2i)\cdot (1-2i)$. Gaussin lukujen joukossa jokaisella luvulla on (järjestystä ja kääntyvillä alkioilla −1, i ja −i kertomista vaille) yksikäsitteinen jako alkulukujen tuloksi, eli aritmetiikan peruslausetta vastaava tulos pätee.

Toisaalta lukujoukossa $\{a+b{\sqrt {-5}}:a,b\in \mathbb {Z} \}$ luvulla 6 on kaksi eri hajotelmaa jaottomien alkioiden tuloksi: $6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})$. Tässä joukossa alkutekijöihin jako ei siis ole yksikäsitteinen.