Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan ei-negatiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on aina vähintään yhtä suuri kuin niiden geometrinen keskiarvo. Muodollisesti, jos pätee $x_1, x_2, \cdots, x_n\geq 0$, niin on voimassa

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$.

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$.

Jos lukujen $x_i$ oletetaan kaikkien olevan positiivisia ja sovelletaan aritmeettis-geometrista epäyhtälöä lukuihin $1/x_1,1/x_2,\cdots,1/x_n$, saadaan geometris-harmoninen epäyhtälö

$\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$.

Tässä epäyhtälön oikealla puolella oleva lauseke on nimeltään harmoninen keskiarvo.

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö yleistää hieman aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sen mukaan, jos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja ja $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja, joiden summa on yksi, on

$\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \ldots + \lambda_n a_n \ge a_1^{\lambda_1} a_2^{\lambda_2} \cdots a_n^{\lambda_n},$

eli

$\sum_{i=1}^n \lambda_i a_i \ge \prod_{i=1}^n a_i^{\lambda_i} .$