Alkuluku

Wikipedia

Ohjattu sivulta Alkuluvut

Alkuluku on lukua 1 suurempi luonnollinen luku, joka ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Alkulukujen joukkoa merkitään kirjaimella P. Ensimmäiset alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Alkulukuja on ääretön määrä. Lukua 1 suurempaa kokonaislukua, joka ei ole alkuluku, sanotaan yhdistetyksi luvuksi. Lukua 1 ei lueta alkuluvuksi, vaikka se onkin jaoton luku, jotta alkulukuja koskevien matemaattisten lauseiden muotoilu olisi yksinkertaisempaa. Alkulukujen laskemiseksi on olemassa useita algoritmeja. Yksi yksinkertaisimmista algoritmeista on Eratostheneen seula, joskin se on työläs ja hidas suurten alkulukujen etsimiseen.

Kaksi lukua ovat alkulukuja toistensa suhteen eli keskenään jaottomia, jos niillä ei ole ykköstä suurempia yhteisiä tekijöitä.

Sisällysluettelo

1 Luonnollisten lukujen esittäminen alkulukujen tulona
2 Alkulukujen ominaisuuksia
3 Alkulukujen määrän äärettömyys
4 Suurimpia tunnettuja alkulukuja
5 Alkulukuja tuottavia kaavoja
6 Avoimia kysymyksiä
7 Aiheeseen liittyvää kirjallisuutta
8 Aiheesta muualla
9 Katso myös

[muokkaa] Luonnollisten lukujen esittäminen alkulukujen tulona

Jokainen luonnollinen luku paitsi $1$ voidaan jakaa alkulukutekijöihin eli kirjoittaa alkulukujen tulona. Voidaan osoittaa, että tämä tekijöihinjako on yksikäsitteinen lukuun ottamatta tekijöiden järjestystä (aritmetiikan peruslause). Voidaan esimerkiksi kirjoittaa

$23 \, 244 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 149$

Tekijöihinjakoa, jossa alkulukutekijät ovat suuruusjärjestyksessä, kutsutaan kanoniseksi alkulukuhajotelmaksi.

[muokkaa] Alkulukujen ominaisuuksia

Jos p on alkuluku, niin $(p-1)!\equiv-1 \pmod{p}$ . (Wilsonin lause)
Mikäli $a$ ja $d$ ovat keskenään jaottomia, niin on olemassa äärettömän monta alkulukua muotoa $a + n d$ , missä $n$ on luonnollinen luku.
Mikäli $p$ on alkuluku ja $a$ on kokonaisluku, niin $a p - a$ on jaollinen luvulla $p$ . (Fermat'n pieni lause)
Jokaiselle alkuluvulle $p > 2$ on olemassa luonnollinen luku $n$ siten että $p=4n \pm 1$
Jokaiselle alkuluvulle $p > 3$ on olemassa luonnollinen luku $n$ siten että $p=6n \pm 1$

[muokkaa] Alkulukujen määrän äärettömyys

Eukleides antoi vanhimman tunnetun todistuksen alkulukujen määrän äärettömyydelle. Todistus on lyhyesti seuraava:

Ota äärellinen joukko perättäisiä alkulukuja. Kerro ne kaikki keskenään ja lisää yksi. Tulos ei ole jaollinen valitun joukon alkuluvuilla, koska jakojäännökseksi jää tällöin yksi. Niinpä sen täytyy olla joko uusi alkuluku tai jaollinen alkuluvulla, joka ei kuulunut valittuun joukkoon.

Alkuluvuille on olemassa laskufunktio $π(n)$ . Merkintä $π(n)$ tarkoittaa lukua n pienempien alkulukujen määrää. Alkulukujen tiheys on laskeva.

	$π(n)$
$10$	4
$102$	25
$103$	168
$104$	1 229
$105$	9 592
$106$	78 498
$107$	664 579
$108$	5 761 455

Alkulukulause antaa asymptoottisen arvion $π(n)$ -funktion käyttäytymiselle. Sen nojalla

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}$

Tämä merkintä ei tarkoita sitä, että näiden funktioiden arvojen erotus lähestyy nollaa, kun x lähestyy ääretöntä, vaan sitä, että niiden arvojen osamäärä lähestyy yhtä, kun x lähestyy ääretöntä. Arvion antama virhe voi siis olla suurikin, mutta suhteutettuna x:ään se on tarpeeksi pieni, jotta arvio on hyödyllinen.

Alkulukuteoreeman esitti ensimmäisen kerran Gauss konjektuurina 1800-luvulla. Sen todistivat toisistaan riippumatta Hadamard ja de la Vallée Poussin vuonna 1896.

[muokkaa] Suurimpia tunnettuja alkulukuja

Suurin tunnettu alkuluku on $2^{43\, 112\, 609} -1$ . Tässä luvussa on 12 978 189 numeroa. Se on 45. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 23. elokuuta 2008 University of California, Los Angelesin matematiikan osaston tietokone, joka osallistui GIMPS-projektiin.

Toiseksi suurin tunnettu alkuluku on $2^{42\, 643\, 801} -1$ . Tässä luvussa on 12 837 064 numeroa. Se on 47. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 12. kesäkuuta 2009 Odd Magnar Strindmo, joka osallistui GIMPS-projektiin.

Kolmanneksi suurin tunnettu alkuluku on $2^{37\, 156\, 667} -1$ . Tässä luvussa on 11 185 272 numeroa. Se on 46. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 6. syyskuuta 2008 Hans-Michael Elvenich Saksan Langenfeldistä, joka osallistui GIMPS-projektiin. Tämä oli ensimmäinen epäjärjestyksessä löytynyt Mersennen alkuluku sitten vuoden 1988.

Neljänneksi suurin tunnettu alkuluku on $2^{32\, 582\, 657} -1$ . Tässä luvussa on 9 808 358 numeroa. Se on 44. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 4. syyskuuta 2006 University of Central Missourin ryhmä, joka osallistui GIMPS-projektiin.

Viidenneksi suurin tunnettu alkuluku on $2^{30\, 402\, 457} -1$ . Tässä luvussa on 9 152 052 numeroa. Se on 43. tunnettu Mersennen alkuluku, jonka löysivät professorit Curtis Cooper ja Steven Boone GIMPS-projektin avulla 15. joulukuuta 2005.

Suurin tunnettu alkuluku joka ei ole Mersennen alkuluku on $19249 \times 2^{13\, 018\, 586} + 1$ . Siinä on 3 918 990 numeroa. Se löydettiin Seventeen or Bust -projektin avulla 26.3.2007.

[muokkaa] Alkulukuja tuottavia kaavoja

Seuraava yhtälö tuottaa luonnollisen luvun $n$ eri arvoilla kaikki alkuluvut ja vain ne:

$f(n) = 2 + (2(n!) \, \operatorname{mod} (n+1))$

Tämän lausekkeen arvo on $n + 1$ , jos tämä on alkuluku, muussa tapauksessa 2. Luvun $n$ arvoilla 1 – 11 lauseke saa arvot 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 2, 2, 11, 2 ja 13.

Kaavan hyöty on kuitenkin lähinnä teoreettinen, koska kertoman laskeminen on erittäin työlästä tietokoneillekin. Esimerkiksi alkulukua $f (23)$ varten täytyy laskea luvun $22$ kertoma, joka on $1 \,124 \, 000 \, 727 \, 777 \, 607 \, 680 \, 000$ .

Ohjelman pseudokoodi:

define factorial(n):
  if n == 0 or n == 1:
      return 1
  else:
      return n*factorial(n-1)

k = read_integer()
 
for n in 1 to k:
  c = factorial(n)
  prime = 2 + (2*c mod (n + 1))

  if prime not in seen_primes:
      seen_primes.insert(prime)
      print prime

[muokkaa] Avoimia kysymyksiä

Matematiikassa on monia alkulukuja koskevia avoimia kysymyksiä, joista varmastikin tunnetuin on Riemannin hypoteesi. Alla on lueteltu muita tunnettuja avoimia kysymyksiä.

Voidaanko jokainen lukua 2 suurempi parillinen luku esittää kahden alkuluvun summana? (Goldbachin konjektuuri)
Onko Fibonaccin lukujonossa ääretön määrä alkulukuja?
Onko olemassa äärettömän monta sellaista alkulukua, joiden etäisyys lähimmästä alkuluvusta on 2, toisin sanoen, onko alkulukupareja äärettömän monta?

[muokkaa] Aiheeseen liittyvää kirjallisuutta

John Derbyshire: Alkulukujen lumoissa. Terra Cognita, 2006. ISBN 952-5202-75-5.

[muokkaa] Aiheesta muualla

Seventeen or Bust -projekti, jonka tarkoituksena on löytää suuria alkulukuja ja määrittää pienin Sierpinskin luku.
GIMPS-projekti, jonka tarkoituksena on etsiä suuria Mersennen alkulukuja

[muokkaa] Katso myös

Yhdistetty luku

Alkuluku

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] Luonnollisten lukujen esittäminen alkulukujen tulona

[muokkaa] Alkulukujen ominaisuuksia

[muokkaa] Alkulukujen määrän äärettömyys

[muokkaa] Suurimpia tunnettuja alkulukuja

[muokkaa] Alkulukuja tuottavia kaavoja

[muokkaa] Avoimia kysymyksiä

[muokkaa] Aiheeseen liittyvää kirjallisuutta

[muokkaa] Aiheesta muualla

[muokkaa] Katso myös

Näkymät

Henkilökohtaiset työkalut

Haku

Valikko

Osallistuminen

Työkalut

Muilla kielillä