Alkuideaali

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Abstraktissa algebrassa alkuideaali on renkaan osajoukko, jolla on monia vastaavia tärkeitä ominaisuuksia kuin alkuluvuilla kokonaislukujen renkaassa. Alkuideaalien määritelmä kommutatiivisissa eli vaihdannaisissa renkaissa on yksinkertaisempi, joten sitä käsitellään tässä yhteydessä ensin.

Alkuideaalit kommutatiivisissa renkaissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos R on kommutatiivinen rengas, niin R:n ideaali P on alkuideaali [1], mikäli sillä on seuraavat kaksi ominaisuutta:

  • aina kun a ja b ovat sellaisia renkaan R alkioita, että niiden tulo ab kuuluu ideaaliin P, niin a kuuluu P:hen tai b kuuluu P:hen.
  • P ei ole koko rengas R.

Tämä yleistää seuraavan alkulukujen ominaisuuden: jos p on alkuluku ja p jakaa kahden kokonaisluvun tulon ab, niin p jakaa a:n tai p jakaa b:n. Näin ollen voidaan sanoa:

Positiivinen kokonaisluku n on alkuluku jos ja vain jos ideaali nZ on alkuideaali renkaassa Z.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkuideaalit ei-kommutatiivisissa renkaissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos R on ei-kommutatiivinen rengas, niin R:n ideaali P on alkuideaali, mikäli sillä on seuraavat kaksi ominaisuutta:

  • aina kun a ja b ovat sellaisia renkaan R alkioita, että kaikilla R:n alkioilla r tulo arb kuuluu ideaaliin P, niin a kuuluu P:hen tai b kuuluu P:hen.
  • P ei ole koko rengas R.

Kommutatiivisten renkaiden tapauksessa tämä määritelmä on yhtenevä edellisessä osuudessa annettuun. Ei-kommutatiivisten renkaiden tapauksessa nämä kaksi määritelmää eroavat.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. John B. Fraleigh: A First Course in Abstract Algebra, s. 337. Addison-Wesley, 1999. ISBN 0-201-33596-4.
  2. Keijo Väänänen: Lukuteoria – luentorunko, s. 43 Oulun yliopisto. Viitattu 27.2.2007.