Algebrallisesti suljettu kunta

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kunnan K sanotaan olevan algebrallisesti suljettu jos se täyttää jonkin seuraavista (yhtäpitävistä) ehdoista:

(i) Jokainen polynomi K[x]:ssä, joka ei ole vakio, hajoaa ensimmäisen asteen tekijöihin.
(ii) Jaottomat polynomit K[x]:ssä ovat samat kuin lineaariset polynomit.
(iii) Jokaisella K[x]:n polynomilla, joka ei ole vakio, on nollakohta K:ssa.

Edellä K[x] = \{p(x)\; |\; p(x) = a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n,\; n \geq 0, \forall i\in \{0,1,\cdots,n\} \, a_i \in K \}.

Siis yksinkertaisemmin muotoiltuna algebrallisesti suljettu kunta on sellainen kunta, jossa n:nnen asteen polynomilla on n nollakohtaa. Esimerkiksi kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu algebran peruslauseen nojalla, mutta reaalilukujen kunta ei sitä ole, sillä kaikilla reaalikertoimisilla polynomeilla ei ole lainkaan reaalisia ratkaisuja.