Aste (Abelin ryhmä)

Matematiikassa Abelin ryhmän aste eli torsiovapaa aste mittaa kuinka suuri ryhmä on. Aste kuvaa, kuinka suuri rationaalikertoiminen vektoriavaruus tarvitaan, jotta abelin ryhmä voitaisiin upottaa siihen. Yhtäpitävästi voidaan kysyä, kuinka suuri vapaa Abelin ryhmä voi ryhmällä olla aliryhmänään.

Määritelmä

Abelin ryhmää voidaan ajatella yhdisteenä sen torsioaliryhmistä T ja sen torsiottomasta osasta A/T. Torsiovapaa aste kuvaa, kuinka monimutkainen torsiovapaa osa voi olla.

Tarkemmin, olkoon A Abelin ryhmä ja T sen torsioaliryhmä, T = { a ∈ A : na = 0 jollakin nollasta poikkeavalla kokonaisluvulla n }. Olkoon Q rationaalilukujen joukko. A:n torsiovapaa aste on yhtä suuri kuin seuraavat kardinaliteetit:

• Abelin ryhmien Q ja A tensoritulon dimensio, kun tensorituloa ajatellaan vektoriavaruutena.
• Pienimmän Q-vektoriavaruuden dimensio, joka sisältää torsiovapaan ryhmän A/T.
• Suurin kardinaali d, jolle A sisältää kokonaislukujen Z suoran summan, missä summassa on d tekijää.
• A:n suurimman Z-lineaarisen osajuokon kardinaliteetti.

Samoin voidaan määritellä torsiovapaa aste kaikille moduleille yli pääideaalirenkaan R. Yllä olevissa määritelmissä on tällöin Q korvattava R:llä.