Abelin lause

Abelin lause on matematiikan lause, joka käsittelee potenssisarjojen suppenemista. Lause on nimetty kehittäjänsä, norjalaisen matemaatikon Niels Henrik Abelin, mukaan.

Lause

Olkoon

$\sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k\!$

potenssisarja, missä $a_0,a_1,a_2,...\!$ ja $x_o\!$ ovat reaalilukuisia vakioita ja $x_0\!$ sarjan kehityskeskus.

Abelin lauseen mukaan:

i) Jos potenssisarja suppenee eräällä $x=x_1 \neq x_0\!$, niin se suppenee itseisesti jokaisella reaaliluvulla $x\!$, jolle $|x-x_o|<|x_1-x_0|\!$, eli joka on lähempänä lukua $x_0\!$ kuin luku $x_1\!$.

ii) Jos potenssisarja ei suppene itseisesti eräällä $x=x_2\!$, niin se hajaantuu jokaisella reaaliluvulla $x\!$, jolle $|x-x_o|>|x_2-x_0|\!$, eli joka on kauempana luvusta $x_0\!$ kuin luku $x_2\!$.