abc-konjektuuri

Abc-konjektuuri on lukuteorian avoin ongelma, jonka määrittelivät Joseph Oesterlé ja David Masser vuonna 1985.

Määritelmä

Olkoon

a + b = c

kolme keskenään jaotonta positiivista kokonaislukua ja rad(abc) (abc:n radikaali) neliövapaa tulo luvun erillisistä alkutekijöistä, toisin sanoen luku, joka saadaan kertomalla kaikkien kolmen luvun alkutekijöitä, mutta kutakin vain kertaalleen.

Koska rad(abc) on tyypillisesti suurempi kuin c, saadaan suhde rad(abc)/c mielivaltaisen lähelle nollaa valitsemalla a ja b sopivasti. Esimerkiksi jos a = 5 ja b = 27 = 3³, on c = 32 = 2⁵ ja tällöin rad(abc) = 30 on vähemmän kuin c.

abc-konjektuurin mukaan kaikilla ε > 0 suhde

rad(abc)^{1 + ε}/c

on alhaalta rajoitettu jollakin vakiolla k > 0, kaikilla a, b ja c = a + b.

Formaalimmin kaikilla ε>0 on olemassa äärellinen K_ε siten, että kaikilla keskenään jaottomilla kokonaisluvuilla a + b = c

$c < K_\epsilon \operatorname{rad}(abc)^{1 + \epsilon}.$

Seurauksia

Otaksumaa ei ole kyetty todistamaan, mutta sillä on useita seurauksia, kuten Rothin lause, Mordellin otaksuma ja Fermat'n suuri lause. Vaikka kukin näistä on kyetty todistamaan, on abc-otaksuma avoin ja mielenkiintoinen, sillä se yhdistää lukuteorian syvällisiä tuloksia toisiinsa.

Muita seurauksia:

• Erdősin–Woodsin konjektuuri (rajoitetulle määrälle tapauksista)
• Äärettömän monen ei-Wieferichin alkuluvun olemassaolo
• Hallin konjektuurin heikko muoto

Tarkemmat määritelmät

Alan Baker esitti vuonna 1996 tarkemman otaksuman, jonka mukaan epäyhtälössä voidaan korvata rad(abc) termillä

ε^−ωrad(abc),

jossa ω on lukumäärä erillisille alkuluvuille, jotka jakavat jonkin luvun a, b tai c. Andrew Granvillen kehittämän otaksuman mukaan lausekkeen oikea puoli voidaan korvata termillä

O(rad(abc) Θ(rad(abc)),

jossa Θ(n) on lukumäärä (korkeintaan n) niille kokonaisluvuille, jotka ovat jaollisia vain niillä alkuluvuilla, jotka jakavat n:n.

Abc-konjektuuria pyritään ratkaisemaan hajautetun laskennan projektissa joka tunnetaan nimellä ABC@home.