Äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu on lause, jonka mukaan jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä kuuluu johonkin alla olevista neljästä pääkategoriasta. Nämä ryhmät voidaan nähdä samanlaisina perusrakennuspaloina kuin alkuluvut toimivat ykköstä suuremmille kokonaisluvuille. Jordanin–Hölderin lause on tarkempi tapa ilmaista tämä äärellisten ryhmien ominaisuus. Kuitenkin luokittelulauseella ja alkutekijöihinjaolla on merkittävä eroavaisuus, sillä tällaiset "rakennuspalikat" eivät välttämättä määritä ryhmää yksikäsitteisesti, sillä on olemassa epäisomorfisia ryhmiä, joilla on sama kompositiojono. Toisin sanoen ryhmien laajentaminen ei ole yksikäsitteistä.

Luokittelulauseen todistus on kymmeniä tuhansia sivuja pitkä ja se on julkaistu useissa sadoissa osissa eri julkaisuissa. Yli sata henkilöä on osallistunut julkaisujen kirjoittamiseen. Suurin osa julkaisuista on kirjoitettu vuosien 1955 ja 2004 välillä. Daniel Gorenstein, Richard Lyons ja Ronald Solomon ovat vähitellen julkaisemassa yksinkertaistettua todistusta.

Mitä luokittelulause sanoo?[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luokittelulause kuuluu seuraavasti: Jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä on isomorfinen jonkun seuraavista ryhmistä kanssa:

Luokittelulauseella on sovelluksia monilla matematiikan osa-alueilla, sillä äärellisten ryhmien rakenne ja niiden toiminta muiden matemaattisten objektien kanssa voidaan toisinaan palauttaa äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä koskevaksi. Luokittelulauseen ansiosta kysymyksiin voidaan vastata tutkimalla yksinkertaisten ja sporadisten ryhmien joukkoa.

Vuonna 1983 Daniel Gorenstein ilmoitti, että äärelliset yksinkertaiset ryhmät on luokiteltu, mutta tämä johtui siitä, että hän oli saanut väärää tietoa kvasiohuiden ryhmien luokittelusta. Nämä ryhmät onnistuttiin luokittelemaan vuonna 2004, kun Aschbacher ja Smith julkaisivat 1221-sivuisen todistuksen[1] kyseisille ryhmille.

Luokittelulauseen yleiskuva[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gorenstein kirjoitti kaksi nidettä[2][3], joissa on hahmoteltu niiden ryhmien luokittelu, joiden karakteristika on pariton tai rankki on pieni. Michael Aschbacher, Richard Lyons ja Stephen D. Smith et al.[4] kirjoittivat kolmannen niteen, jossa on käsitelty jäljelle jäävä karakteristikan kaksi tapaus. Todistus voidaan jakaa useaan pääosaan seuraavasti:

Ryhmät, joiden 2-rankki on pieni[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska "suurin osa" äärellisistä yksinkertaisista ryhmistä on matriisiryhmiä äärellisten kuntien suhteen, aikainen tulos, jotka koettivat hahmotella äärellisten ryhmien luokitteluongelman todistusta oli dikotomialause. Sen mukaan yksinkertainen ryhmä on joko komponenttityyppinen tai karakteristikan kaksi tyyppinen tai sen 2-aliryhmien rankki on enintään kaksi. Jos 2-aliryhmien rankki on enintään kaksi, niin ryhmä muistuttaa ryhmää paritonta kertalukua olevan kunnan suhteen ja karakteristikan kaksi tyyppinen ryhmä muistuttaa ryhmää karakteristikaa kaksi olevan kunnan suhteen.

Yksinkertaiset ryhmät, joiden 2-rankki on pieni, ovat useimmiten Lien tyyppisiä ryhmiä paritonta karakteristikaa olevan kunnan suhteen. Tällainen ryhmä voi olla myös alternoiva (viisi tapausta), karakteristikan kaksi tyyppinen (seitsemän tapausta) tai sporadinen ryhmä (yhdeksän tapausta).

Yksinkertaiset ryhmät, joiden 2-rankki on pieni, ovat:

  • Ryhmät, joiden 2-rankki on 0. Toisin sanoen ryhmät, joiden kertaluku on pariton. Tämä ovat ratkeavia Feitin–Thompsonin lauseen nojalla.
  • Ryhmät, joiden 2-rankki on 1. Näiden Sylowin 2-aliryhmät ovat joko syklisiä tai yleistettyjä kvaternioita. Syklinen tapaus on helppo käsitellä muunnoskuvauksen avulla ja kvaternioiden tapauksessa voidaan käyttää Brauerin–Suzukin lausetta, josta seuraa, että ei ole olemassa yksinkertaista ryhmää, jonka 2-rankki on yksi.
  • Ryhmät, joiden 2-rankki on 2. Alperin osoitti, että Sylowin aliryhmän on oltava dihedraalinen, kvasihedraalinen, köynnöstulo tai ryhmän U3(4) Sylowin 2-aliryhmä.

Ensimmäinen tapaus seuraa Gorensteinin–Walterin lauseesta, jonka avulla saadaan, että ainoat yksinkertaiset ryhmät ovat isomorfisia ryhmän L2(q) kanssa jollakin parittomalla luvulla q tai A7. Toinen ja kolmas tapaus seuraa Alperinin–Brauerin–Gorensteinin lauseesta, josta seuraa, että ainoat yksinkertaiset ryhmät ovat isomorfisia joko L3(q):n, U3(q):n tai M11:n kanssa jollakin parittomalla luvulla q.

Pienen 2-rankin omaavien ryhmien luokittelussa käytetään paljon tavallista ja modulaarista karakterien teoriaa eikä näitä teorioita käytetä melkein missään muualla luokittelussa. Erityisesti tämä korostuu tapauksissa, jossa 2-rankki on korkeintaan kaksi.

Kaikki ryhmät, joiden 2-rankki ei ole pieni, voidaan jakaa kahteen tapaukseen: komponenttityyppiset ryhmä ja karakteristikaa kaksi tyyppiset ryhmät. Tämä seuraa siitä, että jos ryhmällä on sektionaalinen 2-rankki vähintään viisi, on MacWilliams osoittanut, että tällaisen ryhmän 2-aliryhmät ovat yhtenäisiä, jolloin balanssilauseen mukaan kaikki yksinkertaiset ryhmät, joiden Sylowin 2-aliryhmät ovat yhtenäisiä, ovat yksinkertaisia. Ryhmille, joiden 2-rankki on pieni, todistus ei päde koska esimerkiksi signalisoivan funktorin lause toimii vain niille ryhmille, joiden elementaariset Abelin aliryhmät ovat vähintään rankkia kolme.

Komponenttityyppiset ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ryhmän sanotaan olevan komponenttityyppinen, jos jollakin involuution keskittäjällä C, ryhmällä C/O(C) on komponentti (missä O(C) on C:n ydin, paritonta kertalukua oleva maksimaalinen normaali aliryhmä). Komponenttityyppisiin äärellisiin yksinkertaisiin ryhmiin sisältyy useimmat Lien tyyppiset paritonta karakteristikaa olevat Chevalleyn ryhmät, useimmat alternoivat ryhmät ja monet sporadiset yksinkertaiset ryhmät.[5] Tämän tapauksen suurin askel on eliminoida involuution ytimen tukos. Tämä voidaan tehdä niin sanotun B-teoreeman avulla, jonka mukaan jokainen C/O(C):n komponentti on C:n komponentin kuva.

Ideana on, että näillä ryhmillä on involuution keskittäjänä komponentti, joka on pienempi kvasiyksinkertainen ryhmä, joka voidaan olettaa tunnetuksi induktion avulla. Siten luokitellakseen nämä ryhmät otetaan kaikki keskustamaiset laajennukset jokaisesta tunnetusta äärellisestä yksinkertaisesta ryhmästä ja etsitään kaikki yksinkertaiset ryhmät, joiden involuution keskittäjä on komponenttina. Tämä antaa suuren määrän eri tapauksia tarkastettavaksi. Ei ole pelkästään 26 sporadista ryhmää ja 16 perhettä Lien tyyppisiä ja alternoivia ryhmiä, vaan myös suuri joukko ryhmiä, joiden rankki on pieni tai jotka käyttäytyvät eri tavalla tarkasteltuna pienten kuntien suhteen. Nämä on käsiteltävä erikseen. Lisäksi Lien tyyppisten ryhmien tarkastelu parittoman ja parillisen karakteristikan tapauksessa on aika erilaista.

Komponenttityyppisen ryhmän luokittelua kutsutaan myös parittomaksi tapaukseksi. Tämä perustui Aschbacherin mielikuvaan standardimuotoa olevasta kvasiyksinkertaisesta komponentista L, missä ryhmän G keskittäjällä on kertalukua kaksi oleva alkio t. Aschbacher ja muut tutkijat käsittelivät erilaisia mahdollisia komponentteja L. Parillinen eli karakteristikan 2-tyyppinen tapauksessa käsiteltiin analogisia menetelmiä, missä t korvattiin paritonta alkulukukertalukua p olevalla alkiolla. Tässä alkuperäinen "pieni" tapaus vastasi kvasiohuita ryhmiä G, nimittäin tarvittavien p-aliryhmien rankki on korkeintaan kaksi. Tämä tapaus on hyvin monimutkainen ja sen käsitteli pitkässä artikkelissaan Aschbacher ja Smith.

Kvasiohuet ryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Thompson esittely ryhmän G leveyden mitalle suureen e(G), joka on maksimaalinen rankki paritonta kertalukua olevan ryhmän G Abelin aliryhmälle, joka normalisoi G:n epätriviaalin 2-aliryhmän. Nyt G on kvasiohut, jos e(G)<2.[6]

Aschbacherin ja Smithin mukaan (2004b, teoreema 0.1.1), äärellinen yksinkertainen parillista karakteristikaa oleva kvasiohut ryhmä on

Jos ehto "parillinen karakteristika" heikennetään muotoon "parillistyyppinen" (Gorensteinin–Lyonsin–Solomonin tarkistus luokittelusta), niin ainoa uusi kvasiohut ryhmä äärellisten yksinkertaisten ryhmien listaan on Jankon ryhmä J1.

Ryhmät, joiden karakteristika on tyyppiä 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ryhmä on karakteristikan kaksi tyyppinen, jos yleistetty Fittingin aliryhmä F*(Y) jokaiselle 2-lokaalille aliryhmälle Y on 2-ryhmä. Kuten nimestä voi päätellä, nämä ovat suurinpiirtein Lien tyyppiset ryhmät yli karakteristikaa kaksi olevien kuntien sekä hankalasti käsiteltäviä toisia ryhmiä, jota ovat alternoivia tai sporadisia tai paritonta karakteristikaa. Näiden luokittelu on jaettu pienten ja suurten rankkien tapauksiin, missä rankilla tarkoitetaan suurinta rankkia parittomalle Abelin aliryhmälle, joka normalisoi epätriviaalin 2-aliryhmä, joka on usein (mutta ei aina) sama kun Cartanin alialgebran rankki kun ryhmä on Lien tyyppinen ryhmä, jonka karakteristika on kaksi.

Rankkia yksi olevat ryhmät ovat ohuita ryhmiä, jotka on luokitellut Aschbacher, ja rankkia kaksi olevat ryhmät ovat pahamaineiset kvasiohuet ryhmät, jotka luokitteli Aschbacher ja Smith. Nämä vastaavat karkeasti Lien tyyppisiä ryhmiä karakteristikaa kaksi olevassa kunnassa, joiden rankki on yksi tai kaksi.

Ne ryhmät, joiden rankki on vähintään kolme jaetaan edelleen kolmeen luokkaan trikotomialauseen avulla, jonka todisti Aschbacher rankin kolme tapauksessa ja Gorenstein sekä Lyons kun rankki on vähintään neljä. Kolme luokkaa ovat ryhmän GF(2) tyyppisiä, nämä luokitteli suurimmaksi osaksi Timmesfeld, "standardityyppiset ryhmät" jollakin parittomalla alkuluvulla, nämä luokiteltiin Gilmanin–Griessin lauseen avulla ja useiden muiden työn perusteella, ja uniikin tyyppiset ryhmät, missä Aschbacherin tuloksesta seuraa, että ei ole olemassa tämän tyyppisiä yksinkertaisia ryhmiä. Yleinen korkeamman rankin tapaus käsittää enimmäkseen Lien tyyppisiä ryhmiä karakteristikaa kaksi olevien kuntien suhteen, joten rankki on vähintään kolme tai neljä.

Ryhmät, joiden p-aliryhmän rankki on vähintään kolme[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jäljellejäävissä tapauksissa, missä käsiteltävä p-aliryhmän rankki on vähintään kolme, dikotomialause korvattiin trikotomialauseella. Tämän lauseen todistivat pääosin Gorenstein ja Lyons, mutta siihen osallistui myös Aschbacher. Todistus jakautui kolmeen päähaaraan: standardityyppiseksi kutsuttiin p-komponenttihaaraa, GF(2)-tyyppiseksi kutsuttiin enimmäkseen karakteristikan p-tyyppiseksi ja loppua "epäyhtenäistä" haaraa kutsuttiin yksikäsitteisyystapaukseksi. Standardityyppiset ryhmät luokitteli Gilman ja Griess. Tyyppiä GF(2) olevat ryhmät luokitteli useat matemaatikot, kuten Aschbacher, Timmesfeld ja Smith. Yksikäsitteisyystapauksen ratkaisi Aschbacher osoittamalla, että tätä tapausta ei toteuta yksikään äärellinen yksinkertainen ryhmä.

Yksinkertaisten ryhmien olemassaolo ja yksikäsitteisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääosa luokittelusta tuottaa karakterisoinnin kullekin yksinkertaiselle ryhmälle. Siten on välttämätöntä tarkistaa, että on olemassa yksinkertainen ryhmä kutakin karakterisointia kohti ja että tällainen ryhmä on yksikäsitteinen. Tästä seuraa suuri joukko erillisiä ongelmia. Esimerkiksi alkuperäiset todistukset olemassaololle ja yksikäsitteisyydelle vaativat noin 200 sivua, ja Thompsonin ja Bombierin tekemä Reen ryhmien tunnistaminen oli yksi vaikeimpia osia luokittelussa. Moni olemassaolotodistus ja jotkut yksikäsitteisyystodistukset sporadisille ryhmille tehtiin alun perin tietokoneella, mutta suurin osa niistä on sittemmin korvattu lyhyemmillä käsin tehdyillä todistuksilla.

Todistuksen historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gorensteinin ohjelma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vuonna 1972 Gorenstein aloitti ohjelman[7], jolla saatetaan loppuun äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokitteluongelma, joka sisältää seuraavat 16 kohtaa:

  1. Ryhmät, joiden 2-rankki on pieni. Tämä teki suurimmaksi osaksi Gorenstein ja Harada, jotka luokittelivat ryhmät, joiden sektionaalinen 2-rankki on korkeintaan neljä. Suurimman osan tapauksista, joissa 2-rankki on korkeintaan kaksi, oli jo tehty kun Gorenstein julkaisi ohjelmansa.
  2. 2-tasojen puoliyksinkertaisuus. Ongelmana on todistaa, että yksinkertaisen ryhmän involuution keskittäjän 2-taso on puoliyksinkertainen.
  3. Parittoman karakteristikan standardimuoto. Jos ryhmällä on involuutio ja 2-komponentti joka on Lien tyyppinen paritonta karakteristikaa oleva ryhmä, on tavoitteena osoittaa, että sillä on involuution keskittäjä "perusmuodossa", eli involuution keskittäjällä on komponentti, joka on Lien tyyppinen parittomalla karakteristikalla ja että sillä on keskittäjä, jonka 2-rankki on yksi.
  4. Paritonta tyyppiä olevien ryhmien luokittelu. Ongelmana on osoittaa, että jos ryhmällä on involuution keskittäjä "standardimuotoa", niin ryhmä on Lien tyyppinen ja paritonta karakteristikaa. Ongelman ratkaisi Aschbacherin klassinen involuutiolause.
  5. Kvasi-standardi muoto
  6. Keskeiset involuutiot
  7. Alternoivien ryhmien luokittelu
  8. Jotkut sporadiset ryhmät
  9. Ohuet ryhmät. Vuonna 1978 Aschbacher luokitteli yksinkertaiset ohuet äärelliset ryhmät eli ne, joiden 2-lokaali p-rankki on enintään 1 parittomille alkuluvuille p.
  10. Ryhmät, joilla on vahva p-upotettu aliryhmä kun p on pariton.
  11. Signalizer funktorin metodi parittomille alkuluvuille. Suurin hankaluus on todistaa signalizeri funktorin teoreema ei-ratkeaville signalizer funktoreille. Tämän ratkaisi McBride vuonna 1982.
  12. Karakteristikaa p tyyppisten ryhmien luokittelu. Tämä ongelma on ryhmillä, joilla on vahva p-upotettu 2-lokaali aliryhmä, kun p on pariton. Ongelman ratkaisi Aschbacher.
  13. Kvasiohuet ryhmät. Kvasiohut ryhmä on sellainen, että sen 2-lokaaleilla aliryhmillä on p-rankki enintään kaksi kaikilla alkuluvuilla p, ja ongelmana on luokitella yksinkertaiset karakteristikan kaksi tyyppiset ryhmät. Nämä luokitteli Aschbacher ja Smith vuonna 2004.
  14. Ryhmät, joiden 2-lokaali 3-rankki on pieni. Tämän ratkaisi suurimmaksi osaksi Aschbacherin trikotomialause ryhmille, joilla e(G)=3. Todistuksen suurin muutos oli että 2-lokaali 3-rankki on korvattu 2-lokaalilla p-rankilla parittomille alkuluvuille p.
  15. 3-alkioiden keskittäjät standardissa muodossa. Tämän ongelman ratkaisi suurimmaksi osaksi trikotomialause.
  16. Karakteristikan 2 tyyppisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu. Tämän ratkaisi Gilmanin–Griessin lause, missä 3-alkiot korvattiin p-alkioilla, missä p on pariton alkuluku.

Todistuksen aikajana[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monet alla olevan listan yksityiskohdat on otettu Solomonin lähteestä vuodelta 2001[8]. Julkaisuvuosi on yleensä todistuksen julkaisuvuosi, joka voi olla useita vuosia myöhemmin kuin ensimmäisenä löydetyn tuloksen ilmoitettu julkaisuvuosi, joten osa tuloksista voi olla väärässä järjestyksessä.

Julkaisuvuosi
1832 Galois esitti normaalin aliryhmän käsitteen ja löysi yksinkertaiset ryhmät An (n ≥ 5) ja PSL2(Fp) (p ≥ 5).
1854 Cayley määritteli ryhmän.[9]
1861 Mathieu kuvaili ensimmäiset kaksi Mathieun ryhmää M11, M12, ensimmäisen sporadisen yksinkertaisen ryhmän ja osoitti ryhmän M24 olemassaolon.[10]
1870 Jordan listasi joitakin yksinkertaisia ryhmiä: alternoivat ja projektiiviset lineaariset ryhmät ja korosti yksinkertaisten ryhmien tärkeyttä.[11]
1872 Sylow todisti nimeään kantavat lauseensa.[12]
1873 Mathieu esitteli kolme muuta ryhmää: M22, M23, M24.[13]
1892 Otto Hölder todisti, että mielivaltaisen epäkommutatiivisen äärellisen yksinkertaisen ryhmän kertaluku täytyy olla vähintään neljän alkuluvun tulo ja esitti otaksuman äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelusta.[14]
1893 Cole luokitteli yksinkertaiset ryhmät kertalukuun 660 asti.[15]
1896 Frobenius ja Burnside alkoivat tutkimaan äärellisten ryhmien karakteriteoriaa.[16]
1899 Burnside luokitteli yksinkertaiset ryhmät siten, että jokaisen involuution keskittäjä on epätriviaali elementaarinen Abelin 2-ryhmä.[17]
1901 Frobenius todisti, että Frobeniuksen ryhmillä on Frobeniuksen ydin, joten tällaiset ryhmät eivät ole yksinkertaisia.[18]
1901 Dickson määritteli ryhmät mielivaltaisessa äärellisessä kunnassa ja poikkeukselliset ryhmät tyyppiä G2 paritonta karakteristikaa olevassa kunnassa.[19]
1901 Dickson esitteli poikkeuksellisen äärellisen yksinkertaisen ryhmän tyyppiä E6.[20]
1904 Burnside käytti karakteriteoriaa osoittaakseen Burnsiden lauseen, jonka mukaan jokainen epäkommutatiivisen äärellisen ryhmän kertaluvun tulee olla jaollinen vähintään kolmella eri alkuluvulla.[21]
1905 Dickson esitteli yksinkertaiset ryhmät tyyppiä G2 parillista karakteristikaa olevassa kunnassa.[22]
1911 Burnside otaksui, että jokaisen epäkommutatiivisen äärellisen yksinkertaisen ryhmän kertaluku on parillinen.[23]
1928 Hall todisti, että ratkeavalla ryhmällä on olemassa Hallin aliryhmä.[24]
1933 Hall alkoi tutkimaan p-ryhmiä.
1935 Brauer alkoi tutkimaan modulaarisia karaktereja.
1936 Zassenhaus luokitteli äärelliset terävästi 3-transitiiviset permutaatioryhmät.[25][26]
1938 Fitting esitteli Fittingin aliryhmän ja todisti Fittingin lauseen, että ratkeavalla ryhmällä Fittingin aliryhmä sisältää sen keskittäjän.[27]
1942 Brauer kuvailee modulaarisen karakterin ryhmälle, joka on jaollinen alkuluvun ensimmäisellä muttei korkeammalla potenssilla.[28]
1954 Brauer luokitteli yksinkertaiset ryhmät GL2(Fq) involuution keskittäjän mukaan.
1955 Brauerin–Fowlerin lauseesta seuraa, että annettua involuution keskittäjää kohti olevien äärellisten ryhmien lukumäärä on äärellinen. Siten luokitteluongelmaa voitiin lähestyä involuutioiden keskittäjien avulla.[29]
1955 Chevalley esitteli Chevalleyn ryhmät. Erityisesti hän esitteli poikkeukselliset yksinkertaiset ryhmät tyyppiä F4, E7 ja E8.[30]
1956 Hallin–Higmanin lause[31]
1957 Suzuki osoitti, että kaikki paritonta kertalukua olevat äärelliset yksinkertaiset CA-ryhmät ovat syklisiä.[32]
1958 Brauerin–Suzukin–Wallin lause karakterisoi projektiiviset spesiaalit lineeaariset rankkia yksi olevat ryhmät, sekä luokittelee yksinkertaiset CA ryhmät.[33]
1959 Steinberg esitteli Steinbergin ryhmät. Näistä löytyi joitakin uusia äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä tyyppiä 3D4 ja 2E6. Jälkimmäisen löysi samanaikaisesti Steinbergistä riippumatta Jacques Tits.[34]
1959 Brauerin–Suzukin lause yleistetyistä kvaternio-Sylow 2-aliryhmistä osoitti, että mikään näistä ei ole yksinkertainen.[35]
1960 Thompson todisti, että ryhmä, jolla on alkulukukertalukua oleva kiintopistevapaa automorfismi, on nilpotentti.
1960 Feit, Hall ja Thompson osoittivat, että kaikki äärellisen yksinkertaiset paritonta kertalukua olevat CN-ryhmät ovat syklisiä.[36]
1960 Suzuki esitteli Suzukin ryhmät, joiden tyyppi on 2B2.[37]
1961 Ree esitteli Ree-ryhmät, joiden tyypit ovat 2F4 ja 2G2.[38][39]
1963 Feit ja Thompson todistivat parittoman kertaluvun lauseen.[40]
1964 Tits esitteli BN parit Lien tyyppisille ryhmille ja löysi Titsin ryhmän.[41]
1965 Gorensteinin–Walterin lause luokitteli ryhmät, joilla on dihedraalinen Sylowin 2-aliryhmä.[42][43][44]
1965 Janko esitteli Jankon ryhmän J1, joka oli ensimmäinen sporadinen ryhmä miltei vuosisataan.[45][46]
1966 Glauberman todisti Z*-lauseen.[47]
1968 Glauberman todisti ZJ-lauseen.[48]
1968 Higman ja Sims esittelivät Higmanin–Simsin ryhmän.[49]
1968 Conway esitteli Conwayn ryhmät.[50][51]
1969 Walterin lause luokitteli ryhmät, joilla Sylowin 2-aliryhmät ovat Abelin ryhmiä.[52][53]
1969 Tänä vuonna esiteltiin myös Suzukin sporadinen ryhmä[54], Janko-ryhmä J2[55], Janko-ryhmä J3[56], McLaughlinin ryhmä[57] ja Held-ryhmä[58].
1969 Gorenstein esitteli signalizer-funktorit, jotka perustuivat Thompsonin ideoihin.[59]
1970 Bender esitteli yleistetyn Fitting aliryhmän.
1970 Alperinin–Brauerin–Gorensteinin lause luokitteli ryhmät, joilla on kvasi-dihedraaliset tai köynnösmäiset Sylow 2-aliryhmät. Siten kaikki yksinkertaiset ryhmät, joilla 2-rankki on enintään kaksi, oli luokiteltu.
1971 Fischer esitteli kolme Fischerin ryhmää.[60][61]
1971 Thompson luokitteli kvadraattiset parit.[62]
1971 Bender luokitteli ryhmät, joilla on vahvasti upotettu aliryhmä.[63]
1972 Gorenstein esitteli 16-osaisen ohjelma äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokitteluun. Lopullinen luokittelu noudattaa tätä ohjelmaa hyvinkin tarkasti.
1972 Lyons esitteli Lyonsin ryhmän.[64]
1973 Rudvalis esitteli Rudvalisin ryhmän[65].
1973 Fischer löysi vauva-monsteriryhmän (julkaisematon), mitä Fischer ja Griess käyttivät monsteriryhmän[66] löytämisessä, joka johti edelleen Thompsonin löytämään Thompsonin sporadiseen ryhmään[67] ja Nortonin löytämään Haradan–Nortonin ryhmään[68]. Tämän löysi myös Harada erilaisella menetelmällä[69].
1974 Thompson luokitteli N-ryhmät[70][71][72][73][74][75], eli ryhmät, joiden kaikki lokaalit alirenkaat ovat ratkeavia.
1974 Gorensteinin–Haradan teoreema[76][77] luokittelee äärelliset ryhmät, joiden sektionaalinen 2-rankki on korkeintaan 4. Tulos jakaa jäljelle jäävät luokittelemattomat äärelliset yksinkertaiset ryhmät komponettityyppisiin ja karakteristikaa 2 tyyppisiin.
1974 Tits osoitti, että ryhmät, joilla on BN-pari vähintään rankkia 3, ovat Lien tyyppisiä.[78]
1974 Aschbacher luokitteli ryhmät, joilla on aito 2-viritetty ydin.[79]
1975 Gorenstein ja Walter todistivat L-balanssilauseen.[80]
1976 Glauberman todisti ratkeavan signalizer funktorilauseen.[81]
1976 Aschbacher todisti komponenttilauseen[82][83], joka osoitti, että paritonta tyyppiä olevilla ryhmillä, jotka toteuttava tiettyjä ehtoja, on standardimuotoa oleva komponentti. Ne ryhmät, joilla on standardimuotoa oleva komponentti, oltiin luokiteltu monen eri artikkelin ja matemaatikon yhteistuloksena.
1976 O'Nan esitteli O'Nanin ryhmän.[84]
1976 Janko esitteli Janko-ryhmän J4. Tämä oli viimeinen sporadinen ryhmä, joka oli vielä löytämättä.[85]
1977 Aschbacher karakterisoi Lien tyyppiset ryhmät, joiden karakteristika on pariton. Tulos on nimeltään klassinen involuutiolause[86][87]. Tämän lauseen jälkeen, joka tavallaan käsittelee "useimmat" yksinkertaiset ryhmät, uskottiin yleisesti, että äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelun loppu olisi näköpiirissä.
1978 Timmesfeld todisti O2 ekstraerikoisen lauseen[88][89], joka jakoi GF(2)-tyyppisten ryhmien luokittelun useampaan pienempään luokitteluongelmaan.
1978 Aschbacher luokitteli ohuet äärelliset ryhmät[90], joista suurin osa on rankkia 1 olevia Lien tyyppisiä parillista karakteristikaa olevan kunnan suhteen.
1981 Bombieri käytti eliminointiteoriaa viimeistelläkseen Thompsonin työn Reen ryhmien luokittelussa[91]. Näiden luokittelu oli luokitteluongelman yksi vaikeimmista tapauksista.
1982 McBride todisti signalizer funktorin lauseen kaikille äärellisille ryhmille.[92][93]
1982 Griess konstruoi monsteriryhmän käsin.[94]
1983 Gilmanin–Griessin lause[95] luokitteli karakteristikan kaksi tyyppiset ryhmät ja ne, joiden rankki on vähintään neljä ja joilla on standardikomponentit. Tämä on yksi kolmesta trikotomialauseen tapauksesta.
1983 Aschbacher todisti, että mikään äärellinen yksinkertainen ryhmä ei toteuta yksikäsitteisyystapauksen hypoteeseja[96][97]. Tämä on yksi kolmesta tapauksesta, jotka trikotomialause luokittelee karakteristikan kaksi tyypeille.
1983 Gorenstein ja Lyons todistivat trikotomialauseen ryhmille, joiden karakteristika on kakkostyyppiä ja rankki vähintään neljä. Saman aikaisesti Aschbacher todisti saman rankin kolme tapauksessa[98][99][100]. Näin nämä ryhmät jakautuvat kolmeen osatodistukseen. Yksikäsitteisyyteen, GF(2) tyyppisiin ryhmiin ja ryhmiin, joilla on standardikomponentti.
1983 Gorenstein julkisti, että luokitteluongelma on valmis. Tämä on kuitenkin ennenaikaista, sillä kvasiohuiden ryhmien tapauksesta löytyi myöhemmin aukko.
1994 Gorenstein, Lyons ja Solomon aloittivat puhtaaksikirjoitetun luokittelun julkaisemisia.
2004 Aschbacher ja Smith julkaisivat heidän työnsä kvasiohuista ryhmistä[101][102], joista useimmat ovat Lien tyyppisiä rankiltaan enintään kaksi yli parillista karakteristikaa olevan kunnan. Tämä täydentää tuohon aikaan viimeisen tiedossa olevan aukon luokitteluongelmassa.
2008 Harada ja Solomon täydensivät luokitteluongelmaan jääneen pienen aukon[103]. He kuvailivat ryhmän, jolla on standardikomponentti joka on Mathieun ryhmä 22:n peite. Tämä tapaus oli jäänyt vahingossa pois luokitteluongelman todistuksessa, koska M22:n Schurin kerroin oli alun perin laskettu väärin.

Toisen sukupolven luokittelu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lauseen todistusta sellaisena kuin se oli vuonna 1985 voidaan pitää ensimmäisen sukupolven todistuksena. Koska kyseinen todistus on äärimmäisen pitkä, matemaatikot ovat käyttäneen paljon aikaa löytääkseen yksinkertaisemman, niin sanotun toisen sukupolven todistuksen. Tämän yrityksen laittoi liikkeelle Daniel Gorenstein.

Vuoteen 2005 mennessä on julkaistu kuusi nidettä toisen sukupolven todistuksesta.[104][105][106][107][108][109] On arvioitu, että toisen sukupolven todistuksesta tulisi noin 5000 sivua pitkä. Aschbacher ja Smith kirjoittivat kaksi nidettä kvasiohuista tapauksista siten, että nuo niteet voivat olla osana toisen sukupolven todistusta.

Gorenstein ja hänen työtoverinsa ovat antaneet useita syitä sille, miksi yksinkertaisempi todistus on mahdollinen.

  • Tärkein tekijä on se, että ongelman lopullinen muotoilu on tiedossa. Yksinkertaisempia tekniikoita voidaan käyttää saavuttamaan tutut tulokset.
  • Koska lopputulos tiedetään, alkuperäisestä todistuksesta voidaan karsia pois turhat osuudet ja päällekkäin menevät osat.
  • Äärellisten ryhmien tutkijoilla on käytössä enemmän tekniikoita todistuksen löytämiseen.

Ascbacher[110] on kutsunut matemaatikoiden Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth ja muutamien muiden tekemää luokittelua kolmannen sukupolven todistukseksi. Yksi tämän projektin tarkoituksista on käsitellä kaikki karakteristikan kaksi tapaukset amalgaami-menetelmällä.

Miksi todistus on niin pitkä?[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Gorenstein on keskustellut syistä, miksi ei ehkä ole olemassa lyhyttä tapaa todistaa kompaktien Lien ryhmien luokittelua.

  • Luonnollisin syy on se, että yksinkertaisten ryhmien lista on melko monimutkainen.
  • Atiyah ja muut ovat ehdottaneet, että luokittelu voisi olla helpommin saavutettavissa konstruoimalla geometrisiä objekteja joissa ryhmät toimivat ja sitten luokitella nämä rakenteet. Ongelma on siinä, että toistaiseksi kukaan ei ole löytänyt selkeää uniformaalia kuvausta näille yksinkertaisille ryhmille samaan tapaan kuin on olemassa parametrisointi kompakteille Lien ryhmille Dynkinin kaavion avulla.
  • Toinen ehdotettu tapa todistuksen yksinkertaistamiseen on käyttää esitysteoriaa.

Ongelma tässä on se, että esitysteoria näyttää kontrolloivan hyvin tiukasti ryhmän aliryhmiä toimiakseen kunnolla. Pienten rankkien ryhmille on olemassa tällainen kontrolli ja esitysteoria toimiikin hyvin, mutta isommille rankeille tässä ei ole onnistuttu.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Aschbacher M., Smith S. D. The Classification of Quasithin Groups: II. Main Theorems: The Classification of Simple QTKE-groups (2004)
  2. Gorenstein, D. (1982), Finite simple groups, University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, MR 698782
  3. Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, MR 746470
  4. Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, Mathematical Surveys and Monographs 172, ISBN 978-0-8218-5336-8
  5. http://math.stackexchange.com/questions/495528/are-groups-of-component-type-always-of-lie-type-alternating-or-sporadic/495587?noredirect=1#495587
  6. http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01071-2/S0273-0979-05-01071-2.pdf The classification of quasithin groups I, II, by Michael Aschbacher and Stephen D. Smith, Mathematical Surveys and Monographs, vols. 111–112, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, 1221 pp., US$228.00, ISBN 0-8218-3410-X (Vol. 111), 0-8218-3411-8 (Vol. 112) arvostelu
  7. Gorenstein, D. (1979), "The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis", American Mathematical Society. Bulletin. New Series 1 (1): 43–199, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8, ISSN 0002-9904, MR 513750
  8. Solomon, Ronald (2001), "A brief history of the classification of the finite simple groups", American Mathematical Society. Bulletin. New Series 38 (3): 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, MR 1824893 – artikkeli voitti Levi L. Conant -palkinnon
  9. Cayley (1854) "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation \theta^n=1," Philosophical Magazine, 4th series, 7 (42) : 40–47. Kuitenkin määritelmää on kritisoitu MacTutorissa sivulla The abstract group concept.
  10. Mathieu, Émile (1861), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 6: 241–323
  11. Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris: Gauthier-Villars
  12. Sylow, L. (1872), "Théorèmes sur les groupes de substitutions", Math. Ann. (in French) 5 (4): 584–594, doi:10.1007/BF01442913, JFM 04.0056.02
  13. Mathieu, Émile (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (in French) 18: 25–46, JFM 05.0088.01
  14. Otto Hölder, Die einfachen Gruppen in ersten und zweiten Hundert der Ordnungszahlen, Math. Annalen 40 (1892), 55–88.
  15. F. N. Cole, Simple Groups as Far as Order 660, American Journal of Mathematics, Vol. 15, No. 4, Oct., 1893
  16. F. G. Frobenius: Gesammelte Abhandlungen I, II, III (J. P. Serre, ed.), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1968
  17. W. Burnside, On a class of groups of finite order, Trans. Cambridge Phil. Soc. 18 (1899),.269–276.
  18. G. Frobenius, "Ueber auflösbare Gruppen IV" Sitzungsber. Preuss. Akad. Wissenschaft. (1901) pp. 1216–1230
  19. Dickson, Leonard Eugene (1901), "Theory of Linear Groups in An Arbitrary Field", Transactions of the American Mathematical Society (in English) (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 2 (4): 363–394,
  20. Dickson, Leonard Eugene (1901), "A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface", The quarterly journal of pure and applied mathematics 33: 145–173
  21. Burnside, On groups of order p^\alpha q^\beta, Proc. London Math. Soc. (2) 1 (1904), 388–392.
  22. L. E. Dickson, A new system of simple groups, Math. Annalen 60 (1905), 137–150.
  23. W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1911.
  24. P. Hall, A note on soluble groups, J. London Math. Soc. 3 (1928), 98–105.
  25. H. J. Zassenhaus, Kennzeichnung endlicher linearer Gruppen, Abh. Math. Sem. Hamburg 11 (1936), 17–40.
  26. H. J. Zassenhaus,Uber endliche Fastkorper, Abh. Math. Sem. Hamburg 11 (1936), 187–220.
  27. H. Fitting, Beiträge zur Theorie der Gruppen endlicher Ordnung, Jahr. Deutsch. Math. Ver. 48 (1938), 77–141
  28. R. Brauer, On groups whose order contains a prime to the first power. I, II, Amer. J. Math. 64 (1942), 401–440. MR 4:1e; MR 4:2a
  29. R. Brauer and K. A. Fowler, On groups of even order, Ann. of Math. 62 (1955), 565–583. MR 17:580e
  30. C. Chevalley,Sur certains groupes simples,T^ohoku Math. J. 7 (1955), 14–66. MR 17:457c
  31. P. Hall and G. Higman, The p-length of a p-soluble group and reduction theorem for Burnside's problem, Proc. London Math. Soc. (3)6(1956), 1–42. MR17:344b
  32. The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order, Proc. Amer.Math. Soc. 8(1957), 686–695. MR 19:248f
  33. R. Brauer, M. Suzuki and G. E. Wall, A characterization of the one-dimensional unimodular groups over finite fields, Illinois J. Math. 2 (1958), 718–745. MR21:3487
  34. R. Steinberg, Variations on a theme of Chevalley, Pacific J. Math. 9 (1959), 875–891. MR22:79
  35. R. Brauer and M. Suzuki, On finite groups of even order whose 2-Sylow subgroup is a quaternion group, Proc.Natl.Acad.Sci.USA 45 (1959), 1757–1759. MR22:731
  36. W. Feit, M. Hall, Jr. and J. G. Thompson, Finite groups in which the centralizer of any non-identity element is nilpotent, Math.Zeit. 74(1960), 1–17. MR22:5674
  37. M. Suzuki, A new type of simple groups of finite order, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 46 (1960), 868–870. MR 22:11038
  38. R. Ree, A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F4),Amer.J. Math.83(1961), 401–420. MR24:A2617
  39. R. Ree, A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G2),Amer. J. Math.83(1961), 432–462. M
  40. Feit, Walter; Thompson, John G. (1963), "Solvability of groups of odd order", Pacific Journal of Mathematics 13: 775–1029, ISSN 0030-8730, MR 0166261
  41. Tits, Jacques (1964), "Algebraic and abstract simple groups", Annals of Mathematics. Second Series 80: 313–329, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970394, MR 0164968
  42. Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965a), "The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. I", Journal of Algebra 2 (1): 85–151, doi:10.1016/0021-8693(65)90027-X, ISSN 0021-8693, MR 0177032
  43. Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965b), "The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. II", Journal of Algebra 2 (2): 218–270, doi:10.1016/0021-8693(65)90019-0, ISSN 0021-8693, MR 0177032
  44. Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965c), "The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. III", Journal of Algebra 2 (3): 354–393, doi:10.1016/0021-8693(65)90015-3, ISSN 0021-8693, MR 0190220
  45. Zvonimir Janko, A new finite simple group with abelian Sylow subgroups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 53 (1965) 657-658.
  46. Zvonimir Janko, A new finite simple group with abelian Sylow subgroups and its characterization, Journal of Algebra 3: 147-186, (1966) doi:10.1016/0021-8693(66)90010-X
  47. Glauberman, George (1966), "Central elements in core-free groups", Journal of Algebra 4: 403–420, doi:10.1016/0021-8693(66)90030-5, ISSN 0021-8693, MR 0202822, Zbl 0145.02802
  48. Glauberman, George (1968), "A characteristic subgroup of a p-stable group", Canadian Journal of Mathematics 20: 1101–1135, ISSN 0008-414X, MR0230807
  49. Higman, Donald G.; Sims, Charles C. (1968), "A simple group of order 44,352,000", Mathematische Zeitschrift 105 (2): 110–113, doi:10.1007/BF01110435, ISSN 0025-5874, MR 0227269
  50. Conway, John Horton (1968), "A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 61 (2): 398–400, doi:10.1073/pnas.61.2.398, MR 0237634
  51. Conway, John Horton (1969), "A group of order 8,315,553,613,086,720,000", The Bulletin of the London Mathematical Society 1: 79–88, ISSN 0024-6093, MR 0248216
  52. Walter, John H. (1967), "Finite groups with abelian Sylow 2-subgroups of order 8", Inventiones Mathematicae 2: 332–376, doi:10.1007/BF01428899, ISSN 0020-9910, MR 0218445
  53. Walter, John H. (1969), "The characterization of finite groups with abelian Sylow 2-subgroups.", Annals of Mathematics. Second Series 89: 405–514, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970648, MR 0249504
  54. Suzuki, Michio (1969), "A simple group of order 448,345,497,600", in Brauer, R.; Sah, Chih-han, Theory of Finite Groups (Symposium, Harvard Univ., Cambridge, Mass., 1968), Benjamin, New York, pp. 113–119, MR 0241527
  55. Janko, Zvonimir (1969), "Some new simple groups of finite order. I", Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1967/68), Vol. 1, Boston, MA: Academic Press, pp. 25–64, MR0244371
  56. Z. Janko, Some new finite simple groups of finite order, 1969 Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1967/68), Vol. 1 pp. 25-64 Academic Press, London, and in The theory of finite groups (Editied by Brauer and Sah) p. 63-64, Benjamin, 1969.
  57. McLaughlin, Jack (1969), "A simple group of order 898,128,000", in Brauer, R.; Sah, Chih-han, Theory of Finite Groups (Symposium, Harvard Univ., Cambridge, Mass., 1968), Benjamin, New York, pp. 109–111, MR 0242941
  58. D. Held Some simple groups related to M24, in Richard Brauer and Chih-Han Shah, "Theory of Finite Groups: A Symposium", W. A. Benjamin (1969)
  59. Gorenstein, D. (1969), "On the centralizers of involutions in finite groups", Journal of Algebra 11: 243–277, doi:10.1016/0021-8693(69)90056-8, ISSN 0021-8693, MR 0240188
  60. Fischer, Bernd (1971), "Finite groups generated by 3-transpositions. I", Inventiones Mathematicae 13 (3): 232–246, doi:10.1007/BF01404633, ISSN 0020-9910, MR 0294487 This is the first part of Fischer's preprint on the construction of his groups. The remainder of the paper is unpublished (as of 2010).
  61. Fischer, Bernd (1976), Finite Groups Generated by 3-transpositions, Preprint, Mathematics Institute, University of Warwick
  62. Thompson, John G. (1971), "Quadratic pairs", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) 1, Gauthier-Villars, pp. 375–376, MR 0430043
  63. Bender, Helmut (1971), "Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jede Involution genau einen Punkt festläβt", Journal of Algebra 17: 527–554, doi:10.1016/0021-8693(71)90008-1, ISSN 0021-8693, MR 0288172
  64. Richard Lyons (1972,5) "Evidence for a new finite simple group", Journal of Algebra 20:540–569 and 34:188–189.
  65. Rudvalis, A. (1973), "A new simple group of order 214 33 53 7 13 29", Notices of the American Mathematical Society (20): A–95
  66. Griess, Robert L. (1976), "The structure of the monster simple group", in Scott, W. Richard; Gross, Fletcher, Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press, pp. 113–118, ISBN 978-0-12-633650-4, MR 0399248
  67. Thompson, John G. (1976), "A conjugacy theorem for E8", Journal of Algebra 38 (2): 525–530, doi:10.1016/0021-8693(76)90235-0, ISSN 0021-8693, MR 0399193
  68. S. P. Norton, F and other simple groups, PhD Thesis, Cambridge 1975.
  69. Harada, Koichiro (1976), "On the simple group F of order 214 · 36 · 56 · 7 · 11 · 19", Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press, pp. 119–276, MR 0401904
  70. Thompson, John G. (1968), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable", Bulletin of the American Mathematical Society 74: 383–437, doi:10.1090/S0002-9904-1968-11953-6, ISSN 0002-9904, MR 0230809
  71. Thompson, John G. (1970), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. II", Pacific Journal of Mathematics 33: 451–536, ISSN 0030-8730, MR 0276325
  72. Thompson, John G. (1971), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. III", Pacific Journal of Mathematics 39: 483–534, ISSN 0030-8730, MR 0313378
  73. Thompson, John G. (1973), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. IV", Pacific Journal of Mathematics 48: 511–592, ISSN 0030-8730, MR 0369512
  74. Thompson, John G. (1974), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. V", Pacific Journal of Mathematics 50: 215–297, ISSN 0030-8730, MR 0369512
  75. Thompson, John G. (1974), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. VI", Pacific Journal of Mathematics 51: 573–630, ISSN 0030-8730, MR 0369512
  76. Gorenstein, D.; Harada, Koichiro (1973), "Finite groups of sectional 2-rank at most 4", in Gagen, Terrence; Hale, Mark P. Jr.; Shult, Ernest E., Finite groups '72. Proceedings of the Gainesville Conference on Finite Groups, March 23-24, 1972, North-Holland Math. Studies 7, Amsterdam: North-Holland, pp. 57–67, ISBN 978-0-444-10451-9, MR0352243
  77. Gorenstein, D.; Harada, Koichiro (1974), Finite groups whose 2-subgroups are generated by at most 4 elements, Memoirs of the American Mathematical Society 147, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1847-3, MR0367048
  78. Tits, Jacques (1974). Buildings of spherical type and finite BN-pairs. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 386 386. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-38349-9. ISBN 978-3-540-06757-3. MR 0470099
  79. Aschbacher, Michael (1974), "Finite groups with a proper 2-generated core", Transactions of the American Mathematical Society 197: 87–112, ISSN 0002-9947, JSTOR 1996929, MR 0364427
  80. Gorenstein, D.; Walter, John H. (1975), "Balance and generation in finite groups", Journal of Algebra 33: 224–287, doi:10.1016/0021-8693(75)90123-4, ISSN 0021-8693, MR 0357583
  81. Glauberman, George (1976), "On solvable signalizer functors in finite groups", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 33 (1): 1–27, doi:10.1112/plms/s3-33.1.1, ISSN 0024-6115, MR 0417284
  82. Aschbacher, Michael (1975), "On finite groups of component type", Illinois Journal of Mathematics 19: 87–115, ISSN 0019-2082, MR 0376843
  83. Aschbacher, Michael (1976), "Tightly embedded subgroups of finite groups", Journal of Algebra 42 (1): 85–101, doi:10.1016/0021-8693(76)90028-4, ISSN 0021-8693, MR 0422400
  84. O'Nan, Michael E. (1976), "Some evidence for the existence of a new simple group", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 32 (3): 421–479, doi:10.1112/plms/s3-32.3.421, ISSN 0024-6115, MR 0401905
  85. Z. Janko, A new finite simple group of order 86,775,570,046,077,562,880 which possesses M24 and the full covering group of M22 as subgroups, J. Algebra 42 (1976) 564-596.doi:10.1016/0021-8693(76)90115-0 (Artikkelin otsikko on väärin, sillä ryhmän M22 täysi peiteryhmä on suurempi: keskusta on kertalukua 12, ei 6.)
  86. Aschbacher, Michael (1977b), "A characterization of Chevalley groups over fields of odd order II", Annals of Mathematics. Second Series 106 (3): 399–468, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971063, MR 0498828
  87. Aschbacher, Michael (1980), "Correction to: A characterization of Chevalley groups over fields of odd order. I, II", Annals of Mathematics. Second Series 111 (2): 411–414, doi:10.2307/1971101, ISSN 0003-486X, MR 569077
  88. Timmesfeld, Franz (1978), "Finite simple groups in which the generalized Fitting group of the centralizer of some involution is extraspecial", Annals of Mathematics. Second Series 107 (2): 297–369, doi:10.2307/1971146, ISSN 0003-486X, MR 486255
  89. Correction: Timmesfeld, Franz (1979), "Correction to Finite simple groups in which the generalized Fitting group of the centralizer of some involution is extraspecial", Annals of Mathematics. Second Series 109 (2): 413–414
  90. Aschbacher, Michael (1976), "Thin finite simple groups", Bulletin of the American Mathematical Society 82 (3): 484, doi:10.1090/S0002-9904-1976-14063-3, ISSN 0002-9904, MR 0396735 Aschbacher, Michael (1978), "Thin finite simple groups", Journal of Algebra 54 (1): 50–152, doi:10.1016/0021-8693(78)90022-4, ISSN 0021-8693, MR 511458
  91. Bombieri, Enrico (1980), "Thompson's problem (σ²=3)", Inventiones Mathematicae 58 (1): 77–100, doi:10.1007/BF01402275, ISSN 0020-9910, MR570875
  92. McBride, Patrick Paschal (1982a), "Near solvable signalizer functors on finite groups", Journal of Algebra 78 (1): 181–214, doi:10.1016/0021-8693(82)90107-7, ISSN 0021-8693, MR 677717
  93. McBride, Patrick Paschal (1982b), "Nonsolvable signalizer functors on finite groups", Journal of Algebra 78 (1): 215–238, doi:10.1016/0021-8693(82)90107-7, ISSN 0021-8693, MR 677717
  94. R. L. Griess, Jr, The Friendly Giant, Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1–102
  95. Gilman, Robert H.; Griess, Robert L. (1983), "Finite groups with standard components of Lie type over fields of characteristic two", Journal of Algebra 80 (2): 383–516, doi:10.1016/0021-8693(83)90007-8, ISSN 0021-8693, MR 691810
  96. Aschbacher, Michael (1983a), "The uniqueness case for finite groups. I", Annals of Mathematics. Second Series 117 (2): 383–454, doi:10.2307/2007081, ISSN 0003-486X, MR 690850
  97. Aschbacher, Michael (1983b), "The uniqueness case for finite groups. II", Annals of Mathematics. Second Series 117 (3): 455–551, ISSN 0003-486X, JSTOR 2007034, MR 690850
  98. Aschbacher, Michael (1981), "Finite groups of rank 3. I", Inventiones Mathematicae 63 (3): 357–402, doi:10.1007/BF01389061, ISSN 0020-9910, MR 620676
  99. Aschbacher, Michael (1983), "Finite groups of rank 3. II", Inventiones Mathematicae 71 (1): 51–163, doi:10.1007/BF01393339, ISSN 0020-9910, MR 688262
  100. Gorenstein, D.; Lyons, Richard (1983), "The local structure of finite groups of characteristic 2 type", Memoirs of the American Mathematical Society 42 (276): vii+731, ISBN 978-0-8218-2276-0, ISSN 0065-9266, MR 690900
  101. Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004), The classification of quasithin groups. I Structure of Strongly Quasithin K-groups, Mathematical Surveys and Monographs 111, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3410-7, MR 2097623
  102. Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004b), The classification of quasithin groups. II Main theorems: the classification of simple QTKE-groups., Mathematical Surveys and Monographs 112, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3411-4, MR 2097624
  103. Harada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008), "Finite groups having a standard component L of type M₁₂ or M₂₂", Journal of Algebra 319 (2): 621–628, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.09.034, ISSN 0021-8693, MR2381799
  104. Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0334-9, MR 1303592
  105. Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0390-5, MR 1358135
  106. Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0391-2, MR 1490581
  107. Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups. Number 4. Part II. Chapters 1–4, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1379-9, MR 1675976
  108. Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups. Number 5. Part III. Chapters 1–6, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2776-5, MR 1923000
  109. Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups. Number 6. Part IV, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2777-2, MR 2104668
  110. Aschbacher, Michael (2004). "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups". Notices of the American Mathematical Society.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Classification of finite simple groups